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互相关

Wikipedia · 2024-08-04 维基百科 👁 1 阅读

、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。f的对称性是卷积g*f和互相关f \star g在这个例子中相同的原因。]]
在统计学中，互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov（X, Y），以与矢量 X 的“协方差”概念相区分，矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。

在信号处理领域中，互相关（有时也称为“互协方差”）是用来表示两个信号之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数，有时也称为“滑动点积”，在模式识别以及密码分析学领域都有应用。

对于离散函数 fi 和 gi 来说，互相关定义为
:(f\star g)_i \equiv \sum_j \overline{f_j}\,g_{i+j}

其中和在整个可能的整数 j 区域取和，\overline{f}表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说，互相关定义为
:(f\star g,x)\equiv \int \overline{f(t)} g(x+t)\,dt

其中积分是在整个可能的 t 区域积分。

互相关实质上类似于两个函数的卷积。

特性
*互相关与卷积通过下式发生关系：
:f (t)\star g (t) = \overline{f(-t)}*g (t)

*互相關並不滿足交換律：
: (f \star g,t) =(\overline{g} \star \overline{f})(-t)，

*(f \star g)\star(f \star g)=(f \star f) \star(g \star g)

*由卷積定理可推得：
: \mathcal{F}\{f\star g\}=\overline{\mathcal{F}\{f\}} \cdot \mathcal{F}\{g\}，
:其中\mathcal{F}\{f\}表示 f 的傅立葉變換。

*如果 f 是一个埃爾米特函數：
:f \star g = f * g

*如果 f 和 g 都是埃爾米特函数：
:f \star g = g \star f

参见

  • 卷积
  • 相关
  • 自相关
  • 自协方差
  • 維納－辛欽定理

外部链接

#信号处理 #协方差与相关性

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