貴金屬比例

貴金屬比例、貴金屬分割（）定义为

: \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}:1（n为自然数）

所表示的比率。

随n值的不同，又称为第n貴金屬比例、第n貴金屬分割。特别地，第1貴金屬比例\frac{1+\sqrt5}{2}:1称为黄金比例、第2貴金屬比例1+\sqrt{2}:1称为白銀比例、第3貴金屬比例\frac{3+\sqrt{13}}{2}:1称为青銅比例。

貴金属数
貴金属数是

: \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}

即二次方程式x^2-nx-1=0的正根。

連分数
貴金属数的連分数表示是：

: n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]

数列的商的極限
黄金数（第1貴金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2貴金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第n貴金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列\{M_k\}的递推关系式

: M_0 = 0,\quad M_1 = 1,\quad M_{k+2} = n M_{k+1} + M_k

一旦定义了此关系式，则在此之中，第n貴金属数为\mu，有

: M_k = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\mu + \mu^{-1}} = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在K\rightarrow\infty收敛于\mu。即

: \lim_{k\to\infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} = \mu

成立。

参考文献
参见

• 黄金比例
• 白銀比例
• 青銅比例