勞侖茲因子

勞侖茲因子是一个出現在狹義相對論中的速記因子，得名於荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹，被用于计算時間膨脹、长度收缩、相对论质量等相對論效應。

定義
勞侖茲因子定義為：
:\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} } = \frac{dt}{d\tau}

其中

• v為兩慣性系之間的相對速度，
• c為真空中光速，
• β為v除以光速c的比值，
• τ為原時，
• t為座標時間。

一些作者另外定義了勞侖茲因子的倒數：

:\alpha = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- v^2/c^2} \ ,

可用於速度相加推導。

例子
相對論性條件(近光速)下，物體的總能量E與動量p可以通過勞侖茲因子\gamma簡單寫為：
:E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }
:\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} = \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }
其中m為靜質量。

在四维向量描述下，能-動向量則成為：
:\mathbf{p}^{(4)} = ({E \over c}, \mathbf{p}) = (\gamma m c, \gamma m \mathbf{v})= m ( \gamma c, \gamma \mathbf{v}) = m \mathbf{v}^{(4)}
和牛頓力學的三維動量\mathbf{p}= m \mathbf{v}定義相似。

數值
下表中，最左欄為以c為單位的速率；中間欄顯示相應的勞侖茲因子；最右欄為勞侖茲因子的倒數。以粗體字顯示者為精確值。

非相對論性條件
當速度遠小於光速（非相對論性條件下），即v \ll c，則\beta趨近於0，而\gamma趨近於1，回到傳統的牛頓力學描述。

參考資料