共轭复数

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算

正式定義
复数z = a + bi（a, b \in \mathbb{R}）的共軛定義為：
:\overline{z} = \overline{a+bi}= a - bi

有時也表為：
:z^{} = {(a+bi)}^{} = a - bi

如：
:\overline{3-2i} = 3+2i
:\overline{7} = 7（實數的共軛為自身）
:\overline{i} =-i（純虛數的共軛）
將複數理解為複平面的一點的話，則几何上，複共軛是此點以實數軸為對稱軸的反射。

性質
對於複數z, w：
:
\begin{array}{l}
\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \\
\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w} \\
\overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w} \\
\overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} & (w \ne 0) \\
\overline{z} = z & (z \in \mathbb{R}) \\
\overline{z^n} = \overline{z}^n & (n \in \mathbb{Z}) \\
|\overline{z}| = |z| \\
|\overline{z}|^2 = z\overline{z} \\
\overline{(\overline{z})} = z \\
z^{-1} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} & (z \ne 0)
\end{array}

一般而言，如果複平面上的函數\phi能表為實係數冪級數，則有：
:\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：
:
\begin{array}{l}
\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} \\
\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} & (z \neq 0)
\end{array}

透過欧拉公式，在極坐標表法下，複數共軛可以寫成
:\overline{re^{i \theta}} = re^{-i \theta}

其它觀點
複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為\tau，則有\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{ 1, \tau \}。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為F_\infty。