Cis函數

{{函數
|name = cis函數
|image = Cis function.png

|heading1 =1
|parity =N/A
|domain = (-∞,∞)
|codomain = \left|\operatorname{cis}x\right| = 1 \, ,\operatorname{cis}x \in \mathbb{C}
|period = 2π

|heading2 = 1
|zero = 1
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = 複數無法比大小
|min = 複數無法比大小
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|f2 =
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|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = N/A
|critical = N/A
|inflection = kπ
|fixed = 0
|notes =k是一個整數.
}}
在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數\operatorname{cis} x = \cos x + i \sin x來定義，是一種實變數，其中i為虛數單位，而cis則為的縮寫。

概觀
cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：
:e^{ix} = \cos x + i\sin x,

其中表示虛數單位i^2=-1。因此
:\operatorname{cis} x = \cos x + i\sin x,

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》

以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號

，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達

積分
:\int\operatorname{cis} z \,\mathrm{d}z = -i\operatorname{cis} z = -ie^{iz}
:\operatorname{cis}(x-y) = {\operatorname{cis} x \over \operatorname{cis} y}
上述性質是當x與y都是複數時成立。在x與y都是實數時，有以下不等式：
:|\operatorname{cis} x - \operatorname{cis} y| \le |x-y|.：
:\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i\;\sin \theta
並且一般定義域為\theta \in \mathbb{R}\,，值域為\theta \in \mathbb{C}\,。

當\theta值為複數時，\operatorname{cis}函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

棣莫弗公式
在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：
:\operatorname{cis}^n (x) = \operatorname{cis} (nx)

指數定義
跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:
\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}

反函數
\operatorname{cis}的反函數：\operatorname{arccis} x，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，\operatorname{cis}的反函數也可以用自然對數來表示

:\operatorname{arccis} \, x =-{\mathrm{i}} \ln x \,

當一複數經過符號函數後代入\operatorname{arccis} x可得輻角。

恆等式
\operatorname{cis}函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式
:\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \frac{(1+i) + (1-i)\cos \theta}{\sin \theta}
:\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \sqrt{\operatorname{cis} \theta}

倍角公式
:\operatorname{cis} 2\theta = \operatorname{cis}^2 \theta
:\operatorname{cis} n\theta = \operatorname{cis}^n \theta

冪簡約公式
:\operatorname{cis}^n \theta = \operatorname{cis} n\theta
相關函數
餘cis函數
就如同三角函數，我們可以令：\operatorname{cocis} \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) + i\;\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin \theta + i\;\cos \theta，其可用於誘導公式來化簡某些特定的\operatorname{cis}函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:
:\operatorname{cocis} \theta = \frac{(1-i)e^{i \theta }+(1+i)e^{-i \theta }}{2}

有恆等式:
:\operatorname{cis} (-\theta) = -i\operatorname{cocis} \theta
:\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \operatorname{cocis} \theta
:\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = i\operatorname{cis} \theta
:\operatorname{cis} (\pi+\theta) = -\operatorname{cis} \theta
:\operatorname{cocis} (-\theta) = i\operatorname{cis} \theta
:\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \operatorname{cis} \theta
:\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta \right) = -i\operatorname{cocis} \theta
:\operatorname{cocis} (\pi+\theta ) = -\operatorname{cocis} \theta

雙曲cis函數
cish函數（\cosh + i\sinh）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：
:e^{\theta}= \cosh(\theta) + \sinh(\theta)
然而當中的i若定義為負一的平方根，則其會變為：
:\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + i \sinh(\theta)
;雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數z=x+jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j^2是實數。選取j^2=-1，得到一般複數。取+1的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)
:\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)
其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

cas函數
cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為於1942提出，其定義為\mathrm{cas}(x):=\cos x+\sin x，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的：
:\mathrm{cas}(x)=\cos x+\sin x
cas函數存在一些恆等式：
:
2 \operatorname{cas} (a+b) = \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(-b) - \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(-b). \,

角和公式：
:
\operatorname{cas} (a+b) = {\cos (a) \operatorname{cas} (b)} + {\sin (a) \operatorname{cas} (-b)} = \cos (b) \operatorname{cas} (a) + \sin (b) \operatorname{cas}(-a) \,

微分：
:
\operatorname{cas}'(a) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \operatorname{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \operatorname{cas}(-a).

參見

• 正弦
• 餘弦
• 複數 (數學)
• 三角函数
• 三角函数恆等式
• 歐拉公式

參考文獻