在物理學上，朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨和T·L·吉爾伯特命名的物理方程，以差分方程為基礎闡述一個進動磁性粒子的自發磁化。由T·L·吉爾伯特修改列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受平均场作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。
朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程，该方程有单一孤子的严格解，对于多孤子情形，可以采取数值方法求解。該方程在在不同情形下模擬微磁性磁場的鐵磁性磁場，尤其孤子於磁場的時閾行為。. 附加方程用於闡述自旋极化电流对磁体的影响。
朗道-利夫希茲方程
設一個鐵磁體，磁化強度M可在其內部發生變化，但每一點擁有相等的磁飽和強度MS.朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程對磁化響應于轉矩的旋轉，引入:
{{NumBlk|:|\frac{d\mathbf{M}}{d t}= -\gamma \mathbf{M} \times \mathbf{H_\mathrm{eff}} - \lambda \mathbf{M} \times \left(\mathbf{M} \times \mathbf{H_{\mathrm{eff}}}\right)|}}
其中， 是孤子旋磁比，是現象阻尼參數，則：
:\lambda = \alpha\frac{\gamma}{M_\mathrm{s}},
其中，是一个无量纲常数，称为阻尼因子。有效場場Heff為外部場的一個組合時，退磁場（磁化磁場）的量子力學效應。解方程前提是包含用於退磁場的附加方程。
採用不可逆的統計力學法，可獨立推導出朗道-利夫希茲方程。
朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程
1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項：
{{NumBlk|:|\frac{d \mathbf{M}}{d t}=-\gamma \left(\mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}} - \eta \mathbf{M}\times\frac{d \mathbf{M}}{d t}\right)|}}
其中， 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程：
{{NumBlk|:|\frac{d \mathbf{M}}{d t} = -\gamma' \mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}} - \lambda \mathbf{M} \times (\mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}})|}}
由此：
:\gamma' = \frac{\gamma}{1 + \gamma^2\eta^2M_s^2} \qquad \text{and} \qquad\lambda = \frac{\gamma^2\eta}{1 + \gamma^2\eta^2M_s^2}.
此情形的朗道-利夫希茲方程中，進動期依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時，阻尼較大。
方程形式
普通形式
该方程的基本思想就是，在规范场作用下，粒子的运动本身会产生电磁场，而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子
:\dot {\vec m}(x,t)=\vec m\times \nabla^2 \vec m
协变形式
协变情况下，D_t=\partial_t + iv\cdot \nabla, 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。
:D_t {\vec m}(x,t)=\vec m\times \nabla^2 \vec m
物理意义
平均场引发的自我驱动往往具有自持效果，这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的孤子波。这就是磁性孤子。
参考文献
*Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756
延伸閱讀
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- This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in
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