贝克隆德变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系。

两个非线性偏微分方程

F_1(u,x,t,u_x,u_t,u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,

F_2(w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta,w_\xi,w_{\xi\xi},w_{\xi\eta},w_{\eta\eta})=0

之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系

\phi_1(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta)=0,

\phi_2(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta)=0.

贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v

: u_{xt} = \sin u.\,

: v_{xt} = \sin v.\,

之间有如下关系：
:\begin{align}
v_x & = u_x - 2\beta \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\
v_t & = -u_t + \frac{2}{\beta} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)
\end{align} \,\!

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商：

bt1 :=(1/2)u_{xt}-(1/2)v_{xt} = \betacos((1/2)u+(1/2)v)((1/2)u_t+(1/2)v_t)

bt2 :=(1/2)u_{xt}+(1/2)v_{xt} = cos((1/2)u-(1/2)v)((1/2)u_x+(1/2)*v_x)/\beta

消除v即得 u_{xt} = \sin u.\,；

消除u项即得
: v_{xt} = \sin v.\,

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解：

解正弦-戈尔登方程
利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程：

由贝克隆德自变换v_x = u_x - 2\beta \sin( \frac{u+v}{2} )令v=0，得

u_x = 2\beta \sin \Bigl( \frac{u}{2} \Bigr)，显然

2\beta = u[x]/sin((1/2)u)，两边对x积分，得：

2\betax = 2ln(csc((1/2)u)-cot((1/2)*u))

对贝克隆德自变换第二式作同样运算得：

2t/\beta = 2ln(csc((1/2)u)-cot((1/2)u))
经过三角函数运算，二式简化为

2\betax = 2ln(tan(u/4))

2t/\beta = 2*ln(tan(u/4))

二式相加得：

2betax+2t/beta = 4ln(tan((1/4)*u))，

分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解：

u(x,t)=4arctan(e^{\frac{\beta^2x+t}{2\beta}})

又从2t/\beta = 2ln(csc((1/2)u)-cot((1/2)u))
直接接求u得另外两个解析解：

u(x,t)=2arctan(2exp((1/2)(\beta^2x+t)/\beta)/(1+(exp((1/2)(\beta^2x+t)/\beta))^2))

u(x,t)=-2arctan(((exp((1/2)(\beta^2x+t)/\beta))^2-1)/(1+(exp((1/2)(\beta^2*x+t)/\beta))^2))

另见
可积系统

KdV方程

参考文献