分佈參數系統（）不同於集總參數系統，是状态空间為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。它是指一个模型的特性不能仅仅由几个参数来表示，其模型参数与工作特性既是时间的函数还与尺寸与空间坐标有关。在电子信息领域中的高频应用中，已经不能只用几个简单的参数来描述元件的电特性，这种情况下需要考虑分布参数，其内部相邻两个点之间的电压和电流是不同的，这种时候的电路不能简单的用克希荷夫電路定律列方程求解，而需要用场的分析方法，根据麦克斯韦方程表征场的作用和传递，通常采取数值分析（如有限元法、矩量法、时域有限差分等）方法来求解其场。在其他领域，如流体力学，控制理論，机械等领域中都广泛用到了分布参数的分析方法，能够更好的逼近实际问题，其模型更加准确。与之相对的集总参数的分析方法只用几个特定参数来分析问题，相比之下分布参数分析的结果要精确得多，当然，问题求解的复杂度也要高得多。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。
抽象发展方程
離散時間
假設U、X和Y是希尔伯特空间，而A\, ∈ L(X), B\, ∈ L(U, X), C\, ∈ L(X, Y) 和D\, ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：
:x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,
:y(k)=Cx(k)+Du(k)\,
其中x\,（狀態）是序列，其值在X內，u\,（輸入或是控制）是序列，其值在U內，y\,（輸出）為序列，其值在Y內。
連續時間
連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：
:\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\, ,
:y(t)=Cx(t)+Du(t)\,
接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用无界算子。一般會假定A狀態空間X裡的。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。
例子：偏微分方程
t>0及\xi\in[0,1]的偏微分方程如下
:\frac{\partial}{\partial t}w(t,\xi)=-\frac{\partial}{\partial\xi}w(t,\xi)+u(t),
:w(0,\xi)=w_0(\xi),
:w(t,0)=0,
:y(t)=\int_0^1 w(t,\xi)\,d\xi,
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(0, 1)，A算子定義為:Ax=-x', D(A)=\left\{x\in X: x\text{ absolutely continuous }, x'\in L^2(0,1)\text{ and }x(0)=0\right\}.
可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為
:Bu=u, Cx=\int_0^1 x(\xi)\,d\xi, D=0
例子：时滞微分方程
时滞微分方程
:\dot{w}(t)=w(t)+w(t-\tau)+u(t),
:y(t)=w(t),
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(−τ, 0)複數的乘積，A算子定義為
:A\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+f(-\tau)\\f'\end{pmatrix}, D(A)=\left\{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}\in X: f\text{ absolutely continuous }, f'\in L^2([-\tau,0])\text{ and }r=f(0)\right\}.
可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為
:Bu=\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}, C\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=r, D=0.
傳遞函數
分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。
離散時間
離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式D+\sum_{k=0}^\infty CA^kBz^k，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為D+Cz(I-zA)^{-1}B。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。
連續時間
若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為D+C(sI-A)^{-1}B，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。
若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。
偏微分方程的傳遞函數
令初始條件w_0為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式
:sW(s,\xi)=-\frac{d}{d\xi}W(s,\xi)+U(s),
:W(s,0)=0,
:Y(s)=\int_0^1 W(s,\xi)\,d\xi.
這是非齊次線性微分方程，變數為\xi，s為參數，且初始條件為零。其解為W(s,\xi)=U(s)(1-e^{-s\xi})/s。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^2，因此傳遞函數為(e^{-s}+s-1)/s^2。
時滯微分方程的傳遞函數
類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 1/(s-1-e^{-s})。
可控制性
在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：
*精確可控制性（Exact controllability）
*近似可控制性（Approximate controllability）
*零可控制性（Null controllability)
離散時間下的可控制性
在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射\Phi_n相當的重要，其表示式為\Phi_n u=\sum_{k=0}^n A^kBu_k。\Phi_nu是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called
系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若\Phi_n的值域為X*。
系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若\Phi_n的值域是X*內的稠密集。
系統在時間n內為零可控制（null controllable）若\Phi_n的值包括An*的值域。
連續時間下的可控制性
在連續時間系統中，\Phi_t（表示為\int_0^t {\rm e}^{As}Bu(s)\,ds）有和離散時間系統的\Phi_n一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L2(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L1(0, ∞;U)。當\Phi_t的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。
系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若\Phi_t的值域為X*。
系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若\Phi_t的值域為X*內的稠密集。
系統在時間t*內為零可控制（null controllable）若\Phi_t的值包括{\rm e}^{At}的值域。
可觀察性
就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：
*精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
*近似可觀察性（approximately observable）
*最終狀態可觀察性（final state observable）
離散時間下的可觀察性
在離散時間系統的可觀察性中，\Psi_n（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為(\Psi_nx)_k=CA^kx，在k > n時，數值為0)。意思是\Psi_nx是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性
在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 k*n > 0 ，使得 \|\Psi_nx\|\geq k_n\|x\|，在所有 x ∈ X 時都成立
在時間n*有近似可觀察性（approximately observable），若\Psi_n為单射
在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k*n > 0 使得\|\Psi_nx\|\geq k_n\|A^nx\|，在所有 x ∈ X 時都成立
連續時間下的可觀察性
在連續時間系統的可觀察性中，\Psi_t（表示為(\Psi_t)(s)=C{\rm e}^{As}x，其中s∈[0,t]，若s>t時為零）的角色和\Psi_n在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L2(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L1(0, ∞, Y)。只要選擇了\Psi_t的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：
在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在k*t > 0，使得\|\Psi_tx\|\geq k_t\|x\|，在所有 x ∈ X 時都成立
在時間t*有近似可觀察性（approximately observable），若\Psi_t為单射
在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k*t > 0 使得\|\Psi_tx\|\geq k_t\|{\rm e}^{At}x\| ，在所有x ∈ X 時都成立
可控制性和可觀察性的對偶
和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若\Phi域以及輔域\Psi都選用一般的函數空間L2時），這些不同概念的對偶如下：
*精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
*近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
*零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。
相關條目
- 控制理论
- 状态空间
腳註
參考資料
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