麥卡托投影法

麥卡托投影法（，另稱正軸等角圓柱投影）是一種等角的圓柱形地圖投影法。其得名於法蘭德斯地理學家傑拉杜斯·麥卡托，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。該地圖將地球在平面展開，經緯線於任何位置皆垂直相交，使地圖形成一個簡潔的長方形，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任意兩點間的正確方位及經緯度，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，從而可以保持大陆轮廓投影-{zh-hans:后;zh-hant:後}-的角度和形状不变（即等角）。

麥卡托投影的缺點是其会使高緯度地區面积变形失真，緯度越高變形越嚴重：赤道地區幾乎沒有變形問題，但接近南北极的高緯度地區（如格陵蘭）面積可被失真放大數倍之多。雖則如此，但因為大部份國際航線均位於南北回归线之間的低緯度地帶，麥卡托投影法於該等區域中的變形程度尚算可接受，故仍被廣泛應用為目前世上最普及的地圖投影法。

数学计算
下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ0是本初子午線）推导为坐标系中的坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

:
\begin{align}
x & = \lambda - \lambda_0 \\
y & = \ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right) \\
& = \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\varphi)}{1 - \sin(\varphi)} \right) \\
& = \tanh^{-1} \left( \sin(\varphi)\right) \\
& = \sinh^{-1} \left( \tan(\varphi)\right) \\
& = \ln \left(\tan(\varphi) + \sec(\varphi)\right).
\end{align}

这是古德曼函数：

:
\begin{align}
\varphi & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\
& = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\
\lambda & = x + \lambda_0.
\end{align}

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。
公式推导
假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故：

:\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}

:\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi}

从 x = λ 可知

:\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1

:\frac{\partial x}{\partial \varphi} = 0

给出

:1 = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}

:0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}

因此，y是φ的唯一函数，且可得到y'=\sec\varphi，由积分表

:y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.\,

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

[[File:Tissot mercator.png|thumb|right]350px|以麥卡托投影法繪製的地圖。]]
錯覺
由於麥卡托投影會使高緯度地區面積嚴重失真變形，因此麥卡托地圖會令使用者對該等地區產生面積錯覺。比如地處北極圈的世界第一大島格陵蘭在麥卡托地圖上的面積堪比非洲大陸，但其實際面積事實上甚至略小於印度。地處赤道的世界第二大島新幾內亞在麥卡托地圖上的面積與和日本相若，但前者實際面積比後者大接近一倍。
以下是實際面積（單位：平方公里）
*格陵蘭：2,166,086平方公里
*印度：3,237,363平方公里
*日本：378,000平方公里
*新幾內亞島：786,000平方公里

参见
*地图学
*地图投影
*
*海图
*罗宾森投影
*横轴墨卡托投影
*通用横轴墨卡托投影（UTM）
*高爾-彼得斯投影
*南上北下地圖
*
*Web墨卡托投影

參考資料
*可至[https://web.archive.org/web/20110501194521/http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395 USGS pages]下载。
*
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth*. Taipei: Caves Books Ltd.
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics.* Taipei: Caves Books Ltd.

*