皮亚诺曲线（）是一条能够填满正方形的曲线。
1890年，意大利数学家朱塞佩·皮亞諾发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线，其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……。将这种操作手续无限进行下去，最终得到的「极限情况的曲线」{{NoteTag|1=這裡的極限具有如下意義：對皮亞諾曲線構造的每個階段中的折線，我們可以以最自然的方式將其參數化成 (f_n(t),g_n(t)), t\in[0,1] 使得 f_n(0)=g_n(0)=0。而極限的曲線就是參數式為 \textstyle(\lim_{n\to\infty} f_n(t),\lim_{n\to\infty} g_n(t)),t\in[0,1] 的曲線。可以證明前述極限對每個t\in[0,1] 皆存在。|name=註}}就被称作皮亚诺曲线。這樣的曲線會填滿整個一開始給定的正方形。
在传统概念中，曲线的維度是1，正方形維度是2，且1維的曲線直覺上不能填滿2維的正方形。但是皮亚诺曲线正给出了反例。这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新思考维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数叫做分维。
此外，皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。
註釋
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