雷诺数

在流体力学中，雷诺数（Reynolds number）是流体的惯性力\frac{\rho v^2}{L}与黏性力\frac{\mu v}{L^2}的比值，它是一个無量纲量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

定义
雷諾數一般表示如下：
:\mathrm{Re} = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{u L}{\nu}
其中

• u是特徵速度（国际单位：m/s）
• L是特徵長度（m）
• \mu是流體动力黏度（Pa·s或N·s/m²）
• \nu是流體运动黏度（\nu = \mu / \rho）（m²/s）
• \rho是流體密度（kg/m³）

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。特徵長度取決於觀察的流場情況，以及約定俗成的使用习惯。當觀察在水管中流動內流場，或是放在流场中的球体外流場時，前者可能會選擇水管直徑或是管長，而後者通常使用直径作为特征長度。而半径和直径对于球型、圆形來說其實是同一件事，但是計算上就差了一倍，因此习惯上常用直徑來代表。

管内流场
对于在管内的流动，雷诺数定义为：
:\mathrm{Re} = \frac{\rho u D}{\mu} = \frac{u D}{\nu} = \frac{Q D}{\nu A}

式中：

• u特徵速度選擇平均流速（国际单位：m/s）
• D特徵長度選擇管径（m）
• Q是体积流量（m³/s）
• A是横截面积（m²）

其中 Q = u A。注意到横截面积和管径之间存在制约关系 A = \frac{\pi}{4} D^2（其中 \pi 是圆周率），因此上式可进一步变形为

:\mathrm{Re} = \frac{4 Q}{\pi \nu D} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D} = \frac{2 Q}{\sqrt{\pi A} \nu} = \frac{2 \rho Q}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \nu} = \frac{2 \rho \sqrt{Q u}}{\sqrt{\pi} \mu}

注意到质量流量 W 满足 W = \rho Q，因此上式可改写为

:\mathrm{Re} = \frac{4 W}{\pi \mu D} = \frac{2 W}{\sqrt{\pi A} \mu} = \frac{2 \sqrt{W u}}{\sqrt{\pi} \mu}

要计算雷诺数，您可以使用[https://reynoldsnumbercalculator.cn/ 此雷诺数计算器] 来简化流程。

平板流
对于在两个宽板（板宽远大于两板之间距离）之间的流动，特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体
对于流体中的物体的雷诺数，经常用Rep表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。
流体中的球
对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中v_f为流体速度，v_s为球速度，d_s为球直径，\rho_f为流体密度，\mu_f为流体粘度。

Re = \frac{|v_f-v_s| d_s \rho_f}{\mu_f}

搅拌槽
对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。速度等于,其中是转速(周/秒)。雷诺数表达为:
: \mathrm{Re} = {{\rho V D} \over {\mu}} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.
当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。

过渡流雷诺数
在外流場中由於有边界层的影響，實驗中發現当流體流过一定长度后，會由层流過渡到完全為湍流。对于不同的尺度和不同的流体，只要雷諾數達到某個特定值，这种不稳定性都会发生。外流場通常以雷諾數\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5代表層流結束, 这里特徵長度 x 是从物體前缘起算的距离，特徵速度是边界层以外的自由流场速度。

內流場雷诺数\mathrm{Re} 为层流状态，\mathrm{Re} > 4000为湍流状态，介於2100～4000为过渡流状态。

• 層流(又可稱作黏滯流動、線流)：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。

• 湍流(又可稱作紊流、擾流)：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

管道中的摩擦阻力
說明達西摩擦因子f和雷诺数和相對粗糙度的關係]]
在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子f和雷诺数{\mathrm{Re}}及相對粗糙度\epsilon / D的關係，圖中隨著雷诺数的增加，管流由層流變為过渡流及湍流，管流的特性和流體為层流、过渡流或湍流有明顯關係。

流动相似性
两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：

: \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \;

: \mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \; \quad\quad \mbox{i.e.} \quad {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; ,
带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。
这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福祿數。

以下是一些雷诺数的例子：

• 纤毛虫~ 1×10−1
• 最小的魚 ～1
• 大脑中的血液流 ～1×102
• 主动脉中的血流~ 1×103

湍流临界值~ 2.3×103-5.0×104(对于管内流)到106(边界层)

• 棒球（美國職業棒球大聯盟投手投球）~2×105
• 游泳（人）~4×106
• 最快的魚 ~1×108
• 蓝鲸~ 3×108
• 大型邮轮（）~ 5×109

雷诺数的推导
雷诺数可以从无量纲的非可压納維－斯托克斯方程推导得来:
:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.

上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:
:\frac{D}{\rho V^2}
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:
: \mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},
:\ p' = p\frac{1}{\rho V^2},
: \ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2},
: \ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t},
: \ \nabla' = D \nabla
无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:
:\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}

这里:\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.

最后,为了阅读方便把撇去掉:
:\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.

这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。

参见

• 磁雷诺数

參考文獻