几何布朗运动（），也叫做指数布朗运动（）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动，也称维纳过程。几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。
技术定义
A 随机过程St在满足以下随机微分方程 (SDE)的情况下被认为遵循几何布朗运动：
: dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t
这里 W_t 是一个维纳过程,或者说是布朗运动，而 \mu ('百分比drift') 和 \sigma ('百分比volatility')则是常量。
几何布朗运动的特性
给定初始值 S0，根据伊藤积分，上面的随机微分方程有如下解:
: S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),
对于任意值 t，这是一个对数正态分布随机变量，其期望值和方差分别是
:\mathbb{E}(S_t)= S_0e^{\mu t},
:\operatorname{Var}(S_t)= S_0^2e^{2\mu t} \left( e^{\sigma^2 t}-1\right),
也就是说St的概率密度函数是:
: f_{S_t}(s; \mu, \sigma, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, \frac{1}{s \sigma \sqrt{t}}\, \exp \left( -\frac{ \left( \ln s - \ln S_0 - \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) t \right)^2}{2\sigma^2 t} \right).
根据伊藤引理，这个解是正确的。
比如，考虑随机过程 log(St). 这是一个有趣的过程，因为dlog(St)可以看成是股票在dt时间内的对数回报率。对f(S) = log(S)应用伊藤引理，得到
:
\begin{alignat}{2}
d\log(S) & = f^\prime(S)\,dS + \frac{1}{2}f^{\prime\prime} (S)S^2\sigma^2 \, dt \\
& = \frac{1}{S} \left( \sigma S\,dW_t + \mu S\,dt\right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt \\
&= \sigma\,dW_t +(\mu-\sigma^2/2)\,dt.
\end{alignat}
于是\mathbb{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t.
这个结果还有另一种方法获得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM:
:
\begin{alignat}{2}
\log(S_t) &=\log\left(S_0\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right)\right)\\&
=\log(S_0)+\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t.
\end{alignat}
取期望值，获得和上面同样的结果: \mathbb{E} \log(S_t)=\log(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)t.
在金融中的应用
几何布朗运动在布莱克-舒尔斯定价模型被用来定性股票价格，因而也是最常用的描述股票价格的模型。
使用几何布朗运动来描述股票价格的理由:
*几何布朗运动的期望与随机过程的价格（股票价格）是独立的, 这与我们对现实市场的期望是相符的。
几何布朗运动推广
参见
*Brownian surface
参考资料
链接
- [https://web.archive.org/web/20120130222949/http://math.nyu.edu/financial_mathematics/content/02_financial/02.html 几何布朗运动 models for stock movement except in rare events.]
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