，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。]]

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义
令 G 为一个群， X 为一个集合， G 在 X 上的一个(左) 群作用 \alpha 是一个二元函数
:\alpha : G \times X \rightarrow X

該函數满足如下两条公理：

对所有 g, h \in G 以及 x \in X ，\alpha(g h, x) = \alpha(g, \alpha(h, x))。

对每个 x \in X ，有 \alpha(e, x) = x ( e 為群 G 的單位元)。

一般稱群 G （在左邊）作用於集合 X 上，或稱 X 是一个 G-集合。

為簡化在群作用 \alpha 上使用的符號，我們可以將其柯里化：令 \alpha_g : X \rightarrow X 為由單個元素 g 給出的映射 x \mapsto \alpha(g, x) ，這樣可以通過考慮函數集 \{\alpha_g \mid g \in G\} 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作

\alpha_e(x) = x

\alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x)

其中 \alpha_g \circ \alpha_h 表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為 \alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh} 。

\alpha(g, x) 一般簡寫為 g \cdot x 或 gx 。

由上述两条公理可知，對固定的元素 g \in G ，从X映射到Xx \mapsto g \cdot x 是一个双射（單射和滿射的條件可以分別通過考慮 g^{-1} 和 e 給出）。因此，也可以将 G 在 X 上的群作用定义为从 G 到对称群上S_{X} 的群同态。

右群作用
我們可以類似地定义一个 G 在 X 上的右群作用为函数X \times G \rightarrow X，满足以下公理：

x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h

x \cdot e = x

注意左和右作用的区别仅在于像 gh 这样的积在 x 上作用的次序。左群作用中， h 先作用，然后才到 g ，而对于右作用 g 先作用，然后才到 h 。右作用與群上的逆操作复合可以构造出一個左作用。如果 r 为一右作用，则
:l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})
是一左作用，因为
:l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,
而
:l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,
所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

群作用的种类
群G作用在集合X上的作用稱為:

;遞移性(Transitive):如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y \in X，則存在一個g\inG，使得g \cdot x = y ，我們就稱此作用為遞移性。
;忠實性(Faithful):如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。
;自由性(Free):如果給定 g, h\in G，存在x \in X，則有著g {\cdot}x=h{\cdot}x {\;\;}{\Rightarrow}\;\;\; g=h，則稱為此作用為自由性。
;正則的(Regular):同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（）。
;n-遞移性(n-transitive):如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。
;本原的(Primitive):如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子
軌道
令群 G 作用在集合 X 上，對 X 中的元素 x ， x 在 G 上的軌道是 X 的子集，定義為

: \{g \cdot x \mid g \in G\}

記作 G \cdot x 或 Gx 。

集合 X 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 G \cdot x 和 G \cdot y 存在公共元素 a ，那麼存在兩個 G 中的元素 m 和 n ，使得 a = m \cdot x \in G \cdot x ， a = n \cdot y \in G \cdot y 。因而 x = m^{-1} \cdot a = m^{-1}n \cdot y \in G \cdot y ，反之亦可推出 y = n^{-1} \cdot a = n^{-1}m \cdot x \in G \cdot x ，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集，假若 H 是
G 的一個子集，且定義 G 中元素的慣常運算規則為 H 在G 上的一個作用，那麼 H 的陪集 aH (a \in G)就是 a 的軌道。

不變子集
令 S 為 X 的一個子集，群 G 作用在 X 上，對於群 G 中的所有元素 g ，以及所有 S 中的元素 s ，有 g \cdot s \in S ，則我們會說 S 在 G 的作用下是封閉的。

若x是\mathrm{X}的一個元素，對於群\mathrm{G}中的所有元素g而言，都有g \cdot x = x，那麼就稱x是\mathrm{G}-不變的（\mathrm{G}-invariant）。

不動點與穩定子群
令 g \in G 和 x \in X ，如果 g \cdot x = x ，則 x 是關於 g 的一個不動點。

對 X 的元素 x ，所有令 g \cdot x = x 的 G 中的元素 g 構成的集合稱為 G 關於 x 的穩定子群，記作 G_x 或 Stab_G(x) 。

: G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\} 。

G_x是\mathrm{G}的一個子群，因為根據定義e \cdot x = x \in G_x，因此 G 的單位元 e 在 G_x 中。如果 m \in G_x ，那麼m的逆元m^{-1}也是\mathrm{Gx}的元素，因為x = e \cdot x = m^{-1}m \cdot x = m^{-1} \cdot x。

軌道－穩定點定理
軌道與穩定子群緊密相關。令群 G 作用在 X 上，令 X 中的 x ，考慮映射 f : G \rightarrow X ， g \mapsto g \cdot x 。該映射的值域等於軌道 G \cdot x 。 G 中的兩元素 g 和 h 的像 f(g) 和 f(h) 相同的條件是

: f(g) = f(h) \iff g \cdot x = h \cdot x \iff g^{-1} h \cdot x = x \iff g^{-1} h \in G_x \iff h \in g G_x 。

換言之， f(g) = f(h) 當且僅當 g 和 h 在穩定子群 G_x 的同一個陪集中。所以所有在軌道 G \cdot x 中的元素 y 的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 X 的一個單元素集合。因此 f 事實上是 G_x 的所有陪集與 X 的元素的一一對應， f: G / G_x \rightarrow X 是一個雙射函數。

這個結論稱為軌道-穩定點定理，有

: |G\cdot x|=[G:G_x]

伯恩賽德引理
而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理

: |X/G|=\frac{1}\sum_{g\in G} |X^g|

其中 X^g 是 X 關於 g 的穩定子群。 G 和 X 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

西羅定理
範例

• 任意群G在任意集合X上的*'群作用定义为 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X*上的恒等置换。

参考资料