莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。

定义
一个随机过程X=\{X_t:t \geq 0\}是一个莱维过程如果符合以下条件：

X_0=0 \, 几乎确定。

独立增量：对任何0 \leq t_1 , X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}相互独立。

稳定增量：对任何s, X_t-X_s \,与X_{t-s} \,有相同分布

t \mapsto X_t is 几乎确定右连左极.

性质
独立增量
设Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，Xt是一个随机变量。过程的增量为差值Xs − Xt（任意的时间t t > u > v，Xs − Xt和Xu − Xv相独立。

稳定增量
如果增量Xs − Xt的分布只依赖于时间间隔s − t，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量Xs − Xt服从均值为0，方差为s − t的正态分布。

对于泊松过程，增量Xs − Xt服从指数为s − t的泊松分布

可分性
莱维过程与无限可分分布有关：

• 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，Xt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。
• 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

矩
当莱维过程的n阶矩\mu_n(t) = E(X_t^n)存在有限时， 它满足二项式等式：

:\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).

例子
维纳过程
定义

X为维纳过程（或者标准布朗运动） 当且仅当

对任何\scriptstyle t\geq 0 ， 随机变量X_t服从正态分布\scriptstyle \mathcal N(0,t),

它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件\scriptstyle \omega，关于t的函数\scriptstyle \omega \mapsto X_t(\omega)是连续的。

性质

• 它的傅立叶变换为：

:\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right)

其他性质可参考词条布朗运动。

复合泊松过程
定义

X为一个实参数为\scriptstyle c\geq 0，测度为\scriptstyle \nu 当且仅当它的傅立叶变换为：
: \mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right) .

性质

• 参数为 \scriptstyle c\geq 0，测度为\scriptstyle \nu=\delta_1的复合泊松过程为泊松过程.
• 设N为参数为\scriptstyle c\geq 0的泊松过程，\scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k为一个随机游走（\scriptstyle Y_1的分布为\scriptstyle \nu），那么\scriptstyle X_t=S_{N_t}为一个复合泊松过程。

参阅
*独立同分布
*维纳过程
*泊松过程
*马尔可夫链

参考来源
翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999