核密度估计

核密度估计（，縮寫：KDE）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属於非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。

的亂數的核密度估计]]

核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。

在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。

一些比较常用的核函数是：
均匀核函数
k(x)=\frac{1}{2},\;-1\leq x\leq 1，
加入带宽h后：
k_h(x)=\frac{1}{2h},\;-h\leq x\leq h。

三角核函数
k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1，
加入带宽h后：
k_h(x)=\frac{(h-|x|)}{h^2},\;-h\leq x\leq h。

伽马核函数
k_{x_i}(x)=\frac{x^{(\alpha-1)}\exp{(-x\alpha/x_i)}}{(x_i/\alpha)^\alpha\Gamma(\alpha)}。

定义
设\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)为从单变量分布中抽取的独立同分布样本，给定点x有未知的概率密度f，我们对估计函数f的形状感兴趣，其核密度估计器是

:
\widehat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big),

其中K是非负的核函数，带宽h>0为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核，定义为K_h(x)=1/h \cdot K(x/h)。直觉上讲，在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽；然而，偏差和方差之间总有所权衡。

常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的，尽管对于前面列出的核来说，效率的损失很小。由于其数学特性良好，正态核经常被使用，即K(x)=\phi(x)，其中\phi是标准正态密度函数。

参考文献
*唐林俊、杨虎、张洪阳：核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《数学的实践与认识》2005年10期