无平方因子数

无平方因子数（）是指其因數中，除了1以外，沒有一個是平方數的正整數。簡言之，將一個這樣的數予以質因數分解後，所有質因數的冪都不會大於或等於2。例如：54=，由於54有因數是平方數（3^2=9），所以54不是无平方因子数；而55=，55沒有因數是平方數，所以55是无平方因子数。

以數學概念說明：若一個數R是无平方因子数，則對於任意平方數S^2且S^2 \le R則S^2 \nmid R；或者說當R = P_1 P_2 P_3 ... P_n且P_1, P_2, P_3, ..., P_n皆為質數時，對於任意1 \le i,j \le n，i \ne j而言，P_i \ne P_j

另一方面，默比乌斯函数\mu (n) \ne 0當且僅當n \ge 1且n = 1或n為无平方因子数時

前20個無平方因數的數是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31

無平方因數的數如果用二進位表示質因數分解的話，2^（n-1）位為第n個質數，如果包含該質因數為1，沒有為0的話，得到數列1、2、3、6、5、10、15、30、7、14、21、42、35、70、105、210、11、22、33、66、55、110、165、330、77、154、231、462、385、770、1155、2310

由於无平方因子数的所有質因數指數均為一次方，故除1以外，有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方。

將无平方因子数分解為兩數之積，這兩數一定互質。

依定義，顯然所有的質數、楔形数、質數階乘與有4個正因數的半質數都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布
如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

:Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

:\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

:\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.

參考文獻