綜合除法

綜合除法是一種簡便的多項式除法，只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。

被除數的未知數應是降幂排列，抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是1，使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。

一般的綜合除法
设被除式为
:F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
设除式为
:G(x)=x-r\,\!
设商为
:Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0
另外有一个余数s

1. 分离F(x)的系数，按降幂写下，再把r写在左边，像这样:

:\begin{array}{c|ccccc}
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & ~ & ~ & ~ & ~\\
\hline
\end{array}

1. 把最左边的系数a_n直接拖下来，它就是商的最高次项系数：

:\begin{array}{c|ccccc}
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & ~ & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & ~ & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & ~ & ~ & ~ & ~\\
\end{array}

1. 把下边的最左边一个数乘上r，写到行上边的右边一位：

:\begin{array}{c|ccccc}
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & ~ & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & ~ & ~ & ~ & ~\\
\end{array}

1. 上下两数相加，写到这一列的行下:

:\begin{array}{c|ccccc}
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
\hline
~ & a_n & a_{n-1}+b_{n-1}r & ~ & ~ & ~\\
~ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & ~ & ~ & ~\\
\end{array}

1. 重复第3，4步，直到没有剩下的数了:

:\begin{array}{c|ccccc}
~ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
r & ~ & b_{n-1}r & \cdots & b_1 r & b_0 r\\
\hline
~ & a_n & a_{n-1}+b_{n-1}r & \cdots & a_1+b_1 r & a_0+b_0 r\\
~ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s\\
\end{array}

b的值是商Q(x)的系数，商的次数比被除式的次数少1。最后的s是余数。

例如2x^2+5x+3除以2x-3
:\begin{array}{c|cccc}
~ & 2 & 5 & 3\\
\dfrac{3}{2} & ~ & 3 & 12\\
\hline
~ & 2 & 8 & 15\\
\end{array}

因为除数用的是3/2，而不是3，所以还需将所得的系数除以2，

故商式为x+4，余式为15。

2x^2+5x+3=(2x+8)\left(x-\frac{3}{2}\right)+15=(x+4)(2x-3)+15

推廣的綜合除
推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。

例如x^3-12x^2-42除以x^2+x-3
:\begin{array}{c|cccc}
~ & 1 & -12 & 0 & -42\\
3 & ~ & ~ & 3 & -39\\
-1 & ~ & -1 & 13 & ~\\
\hline
~ & 1 & -13 & 16 & -81\\
\end{array}

商式為x-13，余式為16x-81。

x^3-12x^2-42=(x-13)(x^2+x-3)+16x-81

參考資料