伽利略变换

伽利略變換（）是古典力學}-中用以在兩個只以匀速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略变换在物體以接近光速運動时不成立，在電磁系統中也不会成立。

伽利略·伽利莱在解釋匀速運動時制定了這一套概念。他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被庞加莱变换所取代；相反，庞加莱变换的经典极限c →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

平移
伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中(x,y,z,t)和(x',y',z',t')分別為同一個事件在兩個坐標系S和S'中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為v），運行方向為x和x'，原點在時間t=t'=0時重合。

:x'=x-vt\,
:y'=y \,
:z'=z \,
:t'=t \,

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

:(x', t') = (x,t) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\-v & 1 \end{pmatrix}.
雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

三種伽利略變換
所看到的時空。

縱軸為時間，橫軸為距離，虛線為觀測者在時空中的軌跡。圖的下半部是已經發生了的事件，上半部則是未來的事件。圖中小點為時空中的事件。

世界線的斜率為觀測者的相對速率。注意觀測者在加速時所看到的時空會進行錯切。]]

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(x,t)。速度為v的匀速運動表達為(\mathbf{x},t) \mapsto (\mathbf{x}+t\mathbf{v},t)，其中v在R3內。平移表達為(\mathbf{x},t) \mapsto (\mathbf{x}+\mathbf{a},t+b)，其中a在R3內，b在R內。旋轉表達為(\mathbf{x},t) \mapsto (G\mathbf{x},t)，其中為某正交變換。。首先G为SO(3)中的旋转矩阵，3维内积在G的作用下保持不变，表达为: =\,\!设在某t时刻有映射\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)将空间上的某一点x映射到另一点G\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \cdot t上。可证得\varphi_t构成一个群。

结合律：\varphi_t为线性映射，线性映射满足结合律。

单位元：\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{0},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}

逆映射：\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)^{-1}=\varphi_t(-G^{-1} \overrightarrow{a},-G^{-1} \overrightarrow{b},G^{-1})

封闭性：\begin{align}
\varphi_t(\overrightarrow{a'},\overrightarrow{b'},G')\circ \varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)(\overrightarrow{x})=GG'\overrightarrow{x}+(G'\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'})+(G\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b'}) \cdot t \\
=\varphi_t(G'\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'},G\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b'},GG')(\overrightarrow{x})\end{align}
对应的有：

空间平移：\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{0},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}

速度变换：\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{b},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b} \cdot t

空间旋转：\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{0},G)(\overrightarrow{x})=G\overrightarrow{x}

\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)为不含时伽利略群，加上时间平移t \mapsto t+t_0后映射(\overrightarrow{x},t) \mapsto (\varphi_t,t+t_0)= (G\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \cdot t,t+t_0)构成一个完整伽利略群，其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元，分别为3个空间平移(x,y,z)，3个空间转动(对应3个坐标基矢），3个速度，以及一个时间平移。

伽利略群的中心擴張
這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、Pi、Ci和Lij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中
:[H,P_i]=0 \,\!
:[P_i,P_j]=0 \,\!
:[L_{ij},H]=0 \,\!
:[C_i,C_j]=0 \,\!
:[L_{ij},L_{kl}]=i [\delta_{ik}L_{jl}-\delta_{il}L_{jk}-\delta_{jk}L_{il}+\delta_{jl}L_{ik}] \,\!
:[L_{ij},P_k]=i[\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i] \,\!
:[L_{ij},C_k]=i[\delta_{ik}C_j-\delta_{jk}C_i] \,\!
:[C_i,H]=i P_i \,\!
:[C_i,P_j]=0 \,\!.

H為時間平移的生成元（哈密顿算符），Pi為平移的生成元（動量算符），Ci為伽利略變換的生成元，而Lij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'i、C'i、L'ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：
:[H',P'_i]=0 \,\!
:[P'_i,P'_j]=0 \,\!
:[L'_{ij},H']=0 \,\!
:[C'_i,C'_j]=0 \,\!
:[L'_{ij},L'_{kl}]=i [\delta_{ik}L'_{jl}-\delta_{il}L'_{jk}-\delta_{jk}L'_{il}+\delta_{jl}L'_{ik}] \,\!
:[L'_{ij},P'_k]=i[\delta_{ik}P'_j-\delta_{jk}P'_i] \,\!
:[L'_{ij},C'_k]=i[\delta_{ik}C'_j-\delta_{jk}C'_i] \,\!
:[C'_i,H']=i P'_i \,\!
:[C'_i,P'_j]=i M\delta_{ij} \,\!

參見
*洛伦兹群
*龐加萊群

備註