维维亚尼定理

维维亚尼(Viviani)定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等於三角形的高。

這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。

它以温琴佐·维维亚尼命名。

证明
设\triangle ABC为等边三角形，P为其内部一点。设s为其边长，h为高，l,\; m,\; n为P到各边的距离。那么：

:S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP} + S_{\triangle BCP},

:\frac{s h}{2} = \frac{s l}{2} + \frac{s m}{2} + \frac{s n}{2},

:h = l + m + n.

Q.E.D.

參考

• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml