符号函数

{{函數
|name = 符號函數
|image = Signum function.png

|heading1 =1
|parity =奇函數
|domain = (-∞,∞)
|codomain = \operatorname{sgn}x \in \{-1,0,1\}
|period = N/A

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = 1
|minusinf =-1
|max = 1
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|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 0
|critical = N/A
|inflection = N/A
|fixed = 0,1,-1
|notes =
}}

符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

: \sgn x = \left\{ \begin{matrix}
-1 & : & x 0 \end{matrix} \right.

性质
用艾佛森括號定義：
:\sgn x = -[x 0]

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：
: x=(\sgn x)|x|

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：
: \sgn x = {x \over |x|}

符號函數是絕對值函數的導數：
: \frac{d|x|}{dx} = \frac{x} = \sgn x

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：
: {d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x)

它和單位步階函數的關係：
: \sgn x = 2 H_{1/2}(x) - 1

推广到复数
符號函數可以推廣到複數：對於任意z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}，
:\sgn z = \frac z
对于任何z ∈ \mathbb{C}，除了z = 0以外。复数z的符号函数，是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么，对于z ≠ 0，有：
:\sgn z = \exp(i\arg z)\,,
其中arg表示辐角。

出于对称的原因，并且为了实现对实数的符号函数的适当推广，对于z = 0，也常常在复数域中定义：
:\sgn 0 = \sgn (0+0i) = 0.
符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数，定义为：
:
\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
1 & \text{if } \Re(z) > 0 \lor (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
-1 & \text{if } \Re(z)
即是在一四象限及 xy 轴正半轴為1，二三象限及 xy 轴负半轴为-1，原点為0。

对于 csgn，我们有（除了z = 0以外）：
:\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}.