加法逆元

加法逆元（additive inverse）又稱相反數（）、反数，其定義是對於任意數a，存在相反数滿足其與a的和為零（加法單位元）；a 的加法逆元表示為 -a。

在實數中，數a的相反數-a，稱為其加法逆元；相對地，數a的倒數\frac{1}{a}或a^{-1}，則稱為其乘法逆元。

一般定義
設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有x, y, x+y=y+x。若該集合中存在一個元素0，使得對於所有x, x+0=0+x=x，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的x，存在一個x'使得x+x'=x'+x=0，則稱x'是x的加法逆元。

特殊情況
定義
若「+」滿足結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。

證明
反證法：
設x有兩個相異的加法逆元x_1、x_2

有 x = x + 0 的關係。

⇒ 0 = x + x_1 = x + x_2

⇒ x_1 = x_2

產生矛盾，證訖。

例

• 向量空間：純量乘法-1
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換

参考文献