展示12是一個過剩數：真因數之和超過自身]]
在數論中，過剩數又称作丰数或盈数，一般指的是真因數之和大於自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大於两倍自身的一类正整数。
定義
一般定义
一般而言，過剩數是指使得函数 s(n)>n 的正整数 n，其中 s(n) 指的是 n 的真因數之和；s(n)-n 称作 n 的盈度或豐度。
例如，12除本身外的所有正因數为4和6，由于 ，且 16>12，因此12為過剩數，且12的豐度為 **'。
严格定义
更为严格地说，過剩數是指使得函数 \sigma_1(n)>2n 的正整数 n，其中 \sigma_1(n) 指的是 n 的所有正因数（包括 n）之和；\sigma_1(n)-2n 称作 n 的盈度或豐度。
在这种定义下，12的正因數有6和12，由于 ，且 28>12\times2，因此12為過剩數，且12的豐度為 **'。
性質
*最小的偶過剩數构成数列：
::102 ……
*最小的奇過剩數构成数列：
::945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……
*不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 23 和 29。
*亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前k個質數整除的最小過剩數的演算法：若 A(k) 表示不能被前 k 個質數整除的最小過剩數，則當 k 足夠大時，對所有的 \epsilon>0，有
:: (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}
*除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 1 + \tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} = n +1。
*過剩數的倍數都是過剩數，1998年馬克·德勒吉斯（Marc Deléglise）证明了過剩數在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间。
*若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數。
*若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。
*若一個過剩數的相對豐度 \frac{s\left(n\right)}{n} 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。
*每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和。
*不是半完全數的過剩數稱為奇異數。
相關概念
、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成数、、奇異數和完全数與亏数和合数關係的欧拉图]]
- 与過剩數相关的概念是完全数（真因數和等於本身，即 s(n)=n 或 \sigma_1(n)=2n）和亏数（真因數和小於本身，即 s(n) 或 \sigma_1(n)）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
- n 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 \frac{\sigma_1\left(n\right)}{n}；若一组相異的數 n_1, n_2, ...（無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。
- 记 k 变化时，滿足 \sigma_1\left(n\right)>kn 的最小自然数 n 构成数列 a_k，则 a_2=12，为第一個過剩數。a_k 是一个增長速度很快的数列。
- 豐度指數超過3的最小奇數為 1018976683725= 。
参见
*高合成數
*完全數
*婚約數
*親和數
*亏数
*梅森素数
*半完全數
*佩服數
參考文獻
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