快樂數

快樂數（）有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（数位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。
以十進位為例：
:28 → 22 + 82 = 68
: → 62 + 82 = 100
: → 12 + 02 + 02 = 1

:37 → 32 + 72 = 58
: → 52 + 82 = 89
: → 82 + 92 = 145
: → 12 + 42 + 52 = 42
: → 42 + 22 = 20
: → 22 + 02 = 4
: → 42 = 16
: → 12 + 62 = 37
因此28是快樂數，而在37的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

十进制下的快乐数
表格
以下是小於100的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。

以下是100到小於200的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。

以下是200到小於300的快樂數表格，表示它是快樂數。

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，表示它是快樂數。

發現1010、100100等表格的快樂數表格有線對稱。

因數
以下是300以內的快樂數因數。

由表格可知：
*128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
*1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
*1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
*1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
*1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
*1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

快樂質數
300以內的快樂質數有：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

連續快樂數
最小的連續快樂數的一對是31和32，較小的前10項是31、129、192、262、301、319、367、391、565、622，較大的前10項則是32、130、193、263、302、320、368、392、566、623。最小的連續3個快樂數是1880開始，4個連續快樂數是7839，5個是44488。

快樂完全數
已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數
*三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93
*五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99
*任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

其他进制的不快樂數循環
*2进制
**每個數都是快樂數
*3进制
**2 → 11 → 2
**:在十进制中為2 → 4 → 2
*4进制
**每個數都是快樂數
*5进制
**4 → 31 →20 → 4
**:在十进制中為4 → 16 → 10 → 4
**23 → 23
**:在十进制中為13 → 13
*6进制
**5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
**:在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
*7进制
**2 → 4 → 22 → 11 → 2
**:在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
**34 → 34
**:在十进制中為25 → 25
*8进制
**4 → 20 → 4
**:在十进制中為4 → 16 → 4
**5 → 31 → 12 → 5
**:在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
**32 → 15 → 32
**:在十进制中為26 → 13 → 26
*9进制
**58 → 108 → 72 → 58
**:在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
**55 → 55
**:在十进制中為50 → 50
*10进制
**4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
*11进制
**75 → 68 → 91 → 75
**:在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
**23 → 12 → 5 → 23
**:在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
*12进制
**22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
**:在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
**21 → 5 → 21
**:在十进制中為25 → 5 → 25
*13进制
**79 → A0 → 79
**:在十进制中為100 → 130 → 100
**36 → 36
**:在十进制中為45 → 45
**B2 → 98 → B2
**:在十进制中為145 → 125 → 145
**67 → 67
**:在十进制中為85 → 85
**14 → 14
**:在十进制中為17 → 17
*16进制
**D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
**:在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性質
*快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
*通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
*十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python程式碼
#ishappy number

def ishappy(n):
a = []
while n not in a:
a.append(n)
n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])

return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目
*Fortunate數
*哈沙德數
*幸運數

參考資料
外部連結
*[https://web.archive.org/web/20061028023151/http://lostmypants.net/happy.php Happy number calculator] - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕