在泛函分析此一數學分支裡，有界線性算子是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L，使得對所有X 內的非零向量v，L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即，存在一些M > 0，使得對所有在X 內的v，
:\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\, \,
其中最小的M 稱為L 的算子范数。\|L\|_{\mathrm{op}} \,。
有界線性算子一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。
一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。
例子
- 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
- 許多積分變換為有界線性算符。例如，設
::K:[a, b]\times [c, d]\to {\mathbf R} \,
:為一連續函數，則算符L
::(Lf)(y)=\int_{a}^{b}\!K(x, y)f(x)\,dx, \,
:（定義於由在[a, b] \, 上的連續函數所組成的空間C[a, b] \,，賦予空間C[c, d] \, 均勻範數的值）是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。
- 拉普拉斯算符
::\Delta:H^2({\mathbf R}^n)\to L^2({\mathbf R}^n) \,
:（其定義域為索伯列夫空間，值域在由平方可積函數所組成的空間內）是有界的。
- 在由所有實數序列(x0, x1, x2...)（其中x_0^2+x_1^2+x_2^2+\cdots ）所組成的l2 空間上的位移算符
::L(x_0, x_1, x_2, \dots)=(0, x_0, x_1, x_2,\dots) \,
:是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。
有界和連續的等價
如開頭所述，在賦範空間X 及Y間的線性算子L 是有界的，若且唯若其為連續線性算子。證明如下：
- 設L 是有界的，則對X內的所有向量v 及h（其中的h不為零），會有
::\|L(v + h) - L v\| = \|Lh\| \le M\|h\| \,。
:令\mathit{h} \, 趨近於零，即可證明L 在v 是連續的。甚至，因為常數M 不依賴v，可證明L 實際上是均勻連續的（更甚之，還是利普希茨連續的）。
- 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個\delta > 0，使得對所有X 內\|h\| \le \delta 的向量h，\|L(h)\|=\| L(h) - L(0) \| \le 1。因此，對所有'X 內的非零向量v*，會有
::\|Lv\| = \left \Vert {\|v\| \over \delta} L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert = {\|v\| \over \delta} \left \Vert L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert \le {\|v\| \over \delta} \cdot 1 = {1 \over \delta}\|v\|.
: 這證明了L 是有界的。
參考資料
- Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
参见
*算子代数
*算子理论
算子理論
連續映射
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