四分之一音差中全律

四分之一音差中全律或稱四分之一音差中庸全音律，是中庸全音律的一种，应用于巴洛克时代前后。

为了确保大三度的和谐，把纯五度音程略微缩小，并且把大全音（8/9）和小全音（9/10）折中了。
原理
**注：以下计算中使用的对数函数 lg {} ，底数都默认为2；即 \forall a \in \mathbb{R} ,\
\lg {a} \ = \log_2 {a} \ 。*

先来看看十七度音程，比如D4到F6#的音程有两种算法。

*4个纯五度相加(即D4-A4-E5-B5-F6#)，或者
*2个八度加大三度(即D4-D5-D6-F6#)

十七度在五度相生律使用四个纯正的五度(3/2)相加的方法，即

: \left( {3 \over 2} \right)^4 = {81 \over 16} = {80 \over 16} \cdot {81 \over 80} = 5 \cdot {81 \over 80}

而纯律使用纯正大三度(5/4)加两个八度的方法：

: 2 \cdot {2 \over 1} \cdot {5 \over 4} = 5

也就是说五度相生律的大三度是81/64，比纯律大81/80，并不纯正。两者的差叫普通音差，約21.506音分。

: 1200 \lg {81 \over 80} \ \hbox{cents} \approx 21.506 \ \hbox{cents}

纯律十七度的频率比(5/1)，不等于纯五度频率比(3/2)的四次方。所以把1/4普通音差从纯五度减去，形成四分之一音差中全律。

设五度频率比为x，则其四次方为5。

: x^4 = 5 \

所以这种五度的频率比是

: x = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4}

这便是四分之一音差中全律的五度，約696.578音分。

: 5^{1/4} \approx 1.495349 = 1200 \lg 5^{1/4} \ \hbox{cents} \approx 696.578 \ \hbox{cents}

它比纯正的五度稍小。

: 3/2 = 1.5 = 1200 \lg {3 \over 2} \ \hbox{cents} \approx 701.955 \ \hbox{cents}

两者的差是1/4普通音差。

: \approx 701.955 - 696.578 \approx 5.377 \approx {21.506 \over 4} \ \hbox{cents}

半音阶的十二个音，可由五度乘除得来。除了音高，与五度相生律性质完全相同。

下表以D为起点算出每个音，列出从D开始的音程以及频率比和音分。算式的 x = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4} 是五度，以此类推。

与五度相生律相同，这里的A♭和G#不一样。在半音阶中，一般省略A♭。（但也有省略G#的）这里G♯到E♭的“五度”音程比純正的五度还要大。抱恨这个五度的和弦会发生顕著的不和谐（像狼叫一样），称为狼音()。而且，包含狼音五度的4个五度组合出来的十七度（大三度）也很不和谐。所以限制了調的选择。使用四分之一音差中全律的乐曲一般調号在三个#或两个♭之间。

四分之一音差中全律与平均律、五度相生律
此音律同样的半音数目有两种音程。可参见右表。

四分之一音差中全律的11个纯五度比纯正的纯五度少1/4普通音差，約696.6音分。 剩下一个約737.6音分的音程（狼音五度）。它是異名同音的音程，正确说法是减六度。它们的平均値是700音分，即平均律的五度。

*9个小三度約310.3音分，其他3个是增二度約269.2音分，平均値300音分。
*8个大三度約386.3音分，其他4个是減四度で約427.4音分，平均値400音分。
*7个自然半音(小二度)約117.1音分，其他4个是变化半音(增一度)約76.0音分，平均値100音分。

可以看出，四分之一音差中全律的音程大小关系和五度相生律是反着的。

調音法
这是四分之一音差中全律在键盘乐器上的調音法（可参考给巴洛克乐团）（C为基准）。

*确定C和E之間的G、D、A
**用音叉定小字一组的C。
**C上的E调整到无拍音（即纯律大三度）。
**C下的F、降B暂按五度相生律确定。
**E上的B、升F暂从E按纯正五度确定。
**暂定的降B和升F中间按不和谐感最小的方法确定D。（角平分线）
**D和C之間同样按不和谐感最小的方法确定G。（角平分线）
**D和E之間再按这种方法确定A。
:于是四分之一音差中全律的五度确定完成。

*从五度和大三度定律
**按纯律大三度从G下得降E，上得B。
**再按纯律大三度从D下得降B、上得升F。
**再按纯律大三度从A下得F，上得升C。
**再按纯律大三度从C上得升G。

*最后一步
**把这十二个音扩展到别的八度。

相關條目
*音律
**五度相生律
**純律
**法国普通律
**Well Temperament
**平均律