费曼－卡茨公式是一个数学公式与定理，得名于理查德·费曼和马克·卡茨，将随机过程和拋物型偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：
:\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -V(x,t) u = f(x,t). \qquad \qquad t \in [0, T], \, \, x \in \mathbb{R}
:满足边界条件： u(x,T)=\psi(x),
其中的 \mu,\ \sigma,\ \psi, V 是已知的函数， \ T 是给定的参数， u:\mathbb{R}\times[0,T]\to\mathbb{R} 是所求的解函数。费曼－卡茨公式声明，这个偏微分方程的解函数可以写成某个随机过程的（条件）期望：
: u(x,t) = E\left[ \int_t^T e^{-\int_t^s V(X_\tau)\ , d\tau}f(X_s,s)ds + e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x \right]
其中\ X = \left( X_t; t \geqslant 0 \right) 是由以下的随机动力方程
d X_t = \mu(X_t ,t)\,dt + \sigma( X_t ,t)\,dW_t,
决定的伊藤随机过程。其中的\ W_t是维纳过程（Wiener过程，又称为布朗过程），\ X_t 满足初始条件\ X_0 = x。

条件
费曼－卡茨公式建立在若干对参数函数的限制性条件下。这些条件主要是要求参数函数足够“平滑”与“规则”，使得随机微分方程和偏微分方程的解存在。

首先假设偏微分方程的解函数 u 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年证明了：当其余函数及 u 满足以下条件
#参数函数\mu,\ \sigma,\ \psi,\ V,\ f以及函数u 都是连续函数。
#函数u 关于x 变量保持多项式增长，即存在正常数M和c，使得对所有的x，都有：
#:\ u(x,t) \leqslant M(1+|x|^c)
#参数函数 \psi 和 f 都要么是正值函数，要么也满足类似以上的多项式增长条件。
#参数函数 V 有下界，并且
#参数函数 \mu,\ \sigma 满足关于x 变量的利普希茨条件，即存在常数K，使得对所有不相等的x 和y，都有：
#: | \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| + | \mu (x,t) - \mu (y,t) | \leqslant K|x - y|
的时候，解函数可以用费曼－卡茨公式表达为条件期望的形式。这些条件中并不保证解的存在性。要保证后者，需要更强的条件：

#参数函数 \mu,\ \sigma 有界，并且局部地满足关于x 变量和t 变量的利普希茨条件（即常数K可以和x相关）。
#对任意的t，参数函数 \sigma 都满足赫尔德连续条件，即存在与t无关的常数H和介于0与1之间的常数 \alpha，使得
#: | \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| \leqslant K|x - y|^{\alpha}
#参数函数 V 有界，并且对任意的t，都局部地满足赫尔德连续条件。
#对任意的t，参数函数 f 都局部地满足赫尔德连续条件，并关于x 变量满足多项式增长条件。

参数函数 \psi 关于x 变量满足多项式增长条件。

以上条件由弗里德曼在1975年给出。1980年克里洛夫提出用更简洁（同时更强）的条件代替，可以是：

在以上的条件下，偏微分方程的解唯一存在，并且满足费曼－卡茨公式的期望表达，同时也满足多项式增长条件。

费曼-卡茨公式

参数函数 \psi 关于x 变量满足多项式增长条件。

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