馬克士威方程組（），或稱馬克士威-黑維塞方程組（），是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程。該方程組由四個方程式組成，分別是描述电荷如何产生电场的高斯定律、表明磁单极子不存在的高斯磁定律、解釋时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律，以及說明电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。馬克士威方程組是因英国物理学家詹姆斯·馬克士威而命名。馬克士威在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。
在不同的領域會使用到不同形式的馬克士威方程組。例如，在高能物理學與引力物理學裏，通常會用到時空表述的馬克士威方程組版本。這種表述建立於結合時間與空間在一起的愛因斯坦時空概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現的牛頓絕對時空概念。愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論與廣義相對論。在量子力學裏，基於電勢與磁勢的馬克士威方程組版本比較獲人們青睞。 雖然一階與線性都是良好的數學性質，除了具有高度對稱性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必須使用數值方法來找到它的數值解。但由於電動力學是一種線性理論，可以利用疊加原理來求解。
高斯定律
高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷數量之間的關係。
，磁場線沒有初始點也沒有終止點，而是形成迴圈或延伸到無窮遠。示意圖展示由流動於圓環導體的電流所形成的磁場線。]]
高斯磁定律
高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）並不存在於宇宙。在實驗方面，物理學者迄今仍尚未發現磁單極子存在的明確證據。由物質產生的磁場是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流迴路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負磁荷，其淨磁荷為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，也必須從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，磁場是一個螺線向量場。。稍後會詳細闡述高斯單位制。勞侖茲-黑維塞單位制也是衍生於厘米-克-秒制，主要用於粒子物理學。普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據大自然的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學非常有用的工具，能夠在理論論述裏給出很大的啟示。
在本條目中，除非特別指出，所有方程式都採用國際單位制。
在真空裏的馬克士威方程組
這種形式的馬克士威方程組又稱為「微觀馬克士威方程組」，可以用來推導出宏觀馬克士威方程組，也可以用來找出原子性質與宏觀性質兩者之間的關聯。。
數學性質
馬克士威方程組形似：它只涉及到六個未知量（向量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設定並符合電荷守恆的物理量），但卻是由八個方程式所組成（兩個高斯定律共有兩個方程式，法拉第定律與馬克士威-安培定律各有三個方程式）。經過仔細分析，即可明白，實際上並不是這麼簡單。
馬克士威方程組的方程式具有「獨立性」──從方程組內的任何一個或多個方程式，都不能推導出方程組內的任何其它方程式。這意味著馬克士威方程組不是超定組，其內中沒有重複任何功能的方程式。馬克士威方程組、洛仑兹力方程式與牛頓第二運動定律總合起來具有「完備性」，他們可以說明所有經典電動力學的現象，不需要使用到任何其它方程式。在某區域內，給定適當的初始條件與邊界條件，則馬克士威方程組的解答具有「唯一性」，即每一個應變量只能有一種函數形式，其內部只含有常數或自變量，不含有任何其它應變量。
舉例而言，假設電荷源與電流源為零，採用直角坐標系，根據高斯定律與高斯磁定律，對於電場與磁場在空間每一個位置可以分別自由設定兩個分量，E_x、E_y與B_x、B_y（需要給出4個函數），由於
:\frac{\partial E_z}{\partial z}=- \frac{\partial E_x}{\partial x} - \frac{\partial E_y}{\partial y}、
:\frac{\partial B_z}{\partial z}=-\frac{\partial B_x}{\partial x}-\frac{\partial B_y}{\partial y}，
只要在任意一個xy-平面的每一個位置分別設定E_z與B_z（需要給出2個函數），則可估算在空間每一個其它位置的E_z與B_z。知道這些\mathbf{E}與\mathbf{B}的信息，則可使用法拉第定律與馬克士威-安培定律估算出在所有時間\mathbf{E}與\mathbf{B}的信息。
證明兩種形式等價
前面所表述的馬克士威方程組的兩種形式，在數學上等價。
:
進階表述
平直時空裏的協變形式
馬克士威方程組與狹義相對論之間的關係密切。不只是因為馬克士威方程組對於狹義相對論的初始發展，做了相當大的貢獻，也因為狹義相對論激盪出一種更簡潔的表述，能以協變張量來表達馬克士威方程組。
自由空間的馬克士威方程組的形式，對於任意慣性坐標系，都是一樣的。在狹義相對論裏，為了要更明確地表達出這論點，必須以四維向量和張量寫出協變形式的馬克士威方程組。這表述的一個構成要素為電磁張量，其是結合了電場和磁場在一起的二階反對稱張量。電磁張量F_{\alpha \beta}表示為：或馬克士威方程組的勢場表述的協變形式：
:\Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu。
彎曲時空裏的協變形式
物質和能量會造成時空彎曲。這是廣義相對論的主題。時空彎曲會影響電動力學的物理。一個電磁場所擁有的能量和動量也會造成時空彎曲。將平直時空的方程組中的偏導數改換為協變導數，就可以得到彎曲時空中的馬克士威方程組：
:\nabla_{\beta} F^{\alpha\beta}= \mu_0 j^{\alpha}、
:\nabla_{\alpha} F_{\beta\gamma} + \nabla_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \nabla_{\beta} F_{\gamma\alpha} =0；
其中，F^{\alpha\beta}是二階電磁張量。
注意到二階張量的協變導數為
參閱
- 馬克士威方程組的歷史
- 《論法拉第力線》
- 《論物理力線》
- 《電磁場的動力學理論》
- 阿布拉罕-勞侖茲力
- 制動輻射
- 傑斐緬柯方程式
- 電磁場的數學表述
- 非齐次的电磁波方程
- 雙縫實驗中光子的動力學
- 移動中的磁鐵與導體問題
註釋
参考文献
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