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巴都萬數列

Wikipedia · 2022-11-23 维基百科 👁 1 阅读

組成的螺旋]]
巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列，其起始數值跟遞歸關係定義為：

:P(0)=P(1)=P(2)=1

:P(n)=P(n-2)+P(n-3)

P(n) 的前几个值是：

:1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ...

此數列以建築師命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係

  • P_n = P_{n-1} + P_{n-5}（此關係可從圖中見得）
  • P_n = P_{n-2} + P_{n-4} + P_{n-8}
  • P_n = P_{n-3} + P_{n-4} + P_{n-5}
  • P_n = P_{n-4} + P_{n-5} + P_{n-6} + P_{n-7} + P_{n-8}

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義：
Perrin_n = P_{n+1} + P_{n-10}

反巴都萬數列
使用遞歸關係P_{-n} = P_{-n+3} - P_{-n+1}可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和
首n項（包括第0項）之和比P_{n+5}少2：

:\sum_{m=0}^n P_m=P_{n+5}-2.

下面是每隔數項的和：

:\sum_{m=0}^n P_{2m}=P_{2n+3}-1
:\sum_{m=0}^n P_{2m+1}=P_{2n+4}-1
:\sum_{m=0}^n P_{3m}=P_{3n+2}
:\sum_{m=0}^n P_{3m+1}=P_{3n+3}-1
:\sum_{m=0}^n P_{3m+2}=P_{3n+4}-1
:\sum_{m=0}^n P_{5m}=P_{5n+1}.

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

:\sum_{m=0}^n P_{m}^2=P_{n+2}^2-P_{n-1}^2-P_{n-3}^2
:\sum_{m=0}^n P_{m}^2 P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}
:\sum_{m=0}^n P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.

其他恆等式
:P_{n}^2-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.

巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

: \sum_{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.

估計值
x^3-x-1=0有三個根：唯一的實數根p（即銀數）和兩個複數根q和r。

:P_n = \frac {p^n} {\left(3p^2-1\right)} + \frac {q^n} {\left(3q^2-1\right)}+ \frac {r^n} {\left(3r^2-1\right)}.

因為q和r的絕對值都少於1，當n趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的n，可以以下面的公式估計：
:P_n \approx \frac {p^n} {\left(3p^2-1\right)} = \frac {p^n} {4.264632...}.

從上面的公式亦知\frac{P_{n+1}}{P_n}的值趨近銀數。

整數分拆上的定義
P_n可以用不同的整數分拆來定義。

  • P_n是將n+2寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如P_6=4，有4種方法將8寫成這類和式：

: 2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

  • P_{2n-2}是將n寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如P_{5 \times 2 - 2}=P_8=7，有7種方法將5寫成這類和式：

: 1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

  • P_n是將n寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如P_9=9，有9種方法將9寫成這類和式：

: 9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

  • 若上述情況改為P_8=8，則數列如下：

: 1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

  • P_n是將n+4寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如P_7=5，有5種方法將11寫成這類和式：

: 11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數
巴都萬數列的生成函數為
:G(P_n;x)=\frac{1+x}{1-x^2-x^3}.

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：
:\sum_{m=0}^{\infty}\frac{P_n}{2^n} = \frac{12}{5}.

多項式
巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

:P_n(x)=\left\{\begin{matrix}
1,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{if }n=0\\
x,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{if }n=1\\
x^2,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{if }n=2\\
xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&\mbox{if }n\ge3
\end{matrix}\right.

首七個巴都萬多項式為：

:P_0(x)=1 \,
:P_1(x)=x \,
:P_2(x)=x^2 \,
:P_3(x)=x^2+1\,
:P_4(x)=x^3+x \,
:P_5(x)=x^3+x^2+x\,
:P_6(x)=x^4+2x^2+1\,
:P_7(x)=x^4+2x^3+x^2+x\,

第n個巴都萬數即P_n(1)。

其他特質
*奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
*數列中的質數：P_{3,4}=2 ; P_5=3 ; P_7=5 ; P_8=7 ; P_{14}=37 ; P_{19}=151 ; P_{30}=3329 ; P_{37}=23833; ...（A000931）
*數列中的平方數：P_{0,1,2}=1 ; P_6=2^2 ; P_9=3^2 ; P_{11}=4^2 ; P_{15}=7^2

参考文献
外部連結

#整数数列

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