孪生素数猜想（）是数论中的一個未解決问题。这个猜想正式由大卫·希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：
其中，素数对(p,p+2)称为孪生素数。
在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。
哈代-李特尔伍德猜测
1921年，英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德提出了以下的猜想：设 \pi_2(N) 为前N个自然数里孪生素数的个数。那么
:\pi_2(N) \approx \int_{2}^{N}\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t)^2} \approx 2 C_{twin} \ \frac{N}{\ln^2 N}
其中的常数C_{twin}是所谓的孪生素数常数：
:\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \\
&= 0.6601618158468695739278121 \ldots
\end{align}
其中的p表示素数。
最新进展
2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明-{zh-hans:存在无穷多个素数对相差都小于7000万;zh-hant:「不管任何的、多大的相鄰質數，一定找的到差距小於7000萬的相鄰質數」;zh-tw:「給定任何正整數M，一定找得到相鄰質數P、Q皆大於M，使得P跟Q的差距小於七千萬」;}-，可以用數式表示為
:\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)
此處「p_n」是第n個質數，「p_{n+1} - p_n」是質數間隙。
他的工作是對Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım的結果的重要改進。張益唐的论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）於2013年5月21日接受。陶哲軒隨後開始了一個，由網上志願者合作降低張益唐論文中的上限。截至2014年4月，即張益唐提交證明之後一年，上限已降至246。
參考資料
;腳注
;引用
参见
*素数
外部链接
- [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 Top-20 Twin Primes] at Chris Caldwell's Prime Pages.
- Xavier Gourdon, Pascal Sebah: [https://web.archive.org/web/20191224151419/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html Introduction to Twin Primes and Brun's Constant]
*[http://mersenneforum.org/showpost.php?p=96237&postcount=51 "Official press release"] of 58711-digit twin prime record.
*
*[http://arnflo.se/~site_files/Other/twinprimes The 20 000 first twin primes]
Twin prime conjecture
Conjecture des nombres premiers jumeaux
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