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集合建構式符號

Wikipedia · 2022-05-22 维基百科 👁 1 阅读

在數學裡，集合建構式符號（）是常用于描述集合的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化（）或。一般寫為\{x:P(x)\}或\{x\in S:P(x)\}，分別只在於論域的不同，前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合，而後者的元素除了符合謂詞P，還得是S的元素。

範例：三角形數的集合
的正整數和公式推導。]]
以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：
:1=1
:1+2=3
:1+2+3=6
:1+2+3+4=10
:1+2+3+4+5=15
:1+2+3+4+5+6=21
:\qquad \qquad \quad \vdots
:1+2+3+\ldots+n=S

:其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：
:1+2+3+\ldots+ n = \frac {n(n+1)}{2}

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：
:T = \left\{ S ~\left|~ S=\frac { n(n+1) }{2}, n \in \mathbb{N}^+ \right. \right\}

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯
當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

  • 偶數集合 = \{x : x是2的倍數\}
  • 負數集合 = \{x : x是小於0的數\}

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：
:A = \{x : P(x)\}

以偶數集合為例，其謂詞P = 「是2的倍數」。P(x) = 「x是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合A的元素必定是另一個集合B的元素x，使得P(x)為真（亦即，A是B的一個子集），一般表述為：
:A = \{x : x \in B, P(x)\}或是A = \{x \in B : P(x)\}

在這裡，P是謂詞，x是主詞（B集合中的一個元素），P(x)是一個傳回真假值的命題函數：
:P\colon B \rightarrow \{ true, false\}

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定B集合，就表示B集合是由謂詞P所給出。

集合建構式例句

  • 正整數集合可用下列建構式表示：

** \{x: x是大於0的整數\}
** \{x : x > 0 \land x \in \mathbb{Z}\}

  • 偶數集合可用下列建構式表示：

** \{x: x是2的倍數\}
** \{x : x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}

  • 負數集合可用下列建構式表示：

** \{x ~|~ x是小於0的數\}
** \{x ~|~ \forall x \in \mathbb{R}, x
** \{x \in \mathbb{R} ~|~ x

  • 平方數集合可用下列建構式表示：

** \{x ~|~ x是某個整數的平方\}
** \{ x : x = k^2; k \in \mathbb{Z} \}
** \{ x^2 : x \in \mathbb{Z} \}
** \{x \in \mathbb{N}: \exists k \in \mathbb{Z} s.t. k^2 = x\}
在這裡，有幾個習慣用法：

  • 冒號和豎線是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是\ni。但是偶爾也會看到這樣的句子，奇數：

:\{ n \in \mathbb{Z} : \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k + 1 \}
:另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：
:\{ 2n + 1 : n \in \mathbb{Z} \}

  • 一般來說，\forall是省略不寫的，但是偶爾會看到使用\forall的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：

:\{ x \in \mathbb{N} : \forall k \in \mathbb{Z}, k^2 \neq x \}

  • 逗號（,）、分號（;）與合取（\land）的意思是一樣的，都是合取（\land）。
  • 當元素的數域已經由命題所給出，通常就省略不寫。

参见

  • 抽象化 (數學)
  • 一階邏輯

外部链接

#集合論基本概念 #数学符号 #數學术语

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