半正矢

{{函數
|name =半正矢
|image =Haversin_plot_2.svg

|heading1 =1
|parity =偶
|domain = (-∞,∞)
|codomain = [0,1]
|period = 2\pi
（360°）

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = (\left(2k+1\right)\pi, 1)

|min = (2k\pi, 0)

|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 2k\pi
（360^\circ k）
|critical = k\pi
（180^\circ k）
|inflection = k\pi-\tfrac{\pi}{2}
（180^\circ k-90^\circ）
|fixed = 0
|notes = k是一個整數。
}}
在數學中，半正矢（英文：haversed sine、 haversine或semiversus）
或半正矢函數是一種三角函數，是正矢函數的一半，因半正矢公式出名，在早期導航術中，半正矢是一個很重要的函數，因為半正矢公式可以在給定角度位置（如經度和緯度）精確地計算出任何球面上的兩點間的距離，若不使用半正矢函數，則該計算會出現\sin^2\left(\tfrac\theta 2\right)和對應反運算的2\arcsin\sqrt{z}，因此若有半正矢函數的函數表，則能夠省去平方及平方根的運算。

半正矢函數是一個周期函数，其最小正周期为2\pi（360°）。
其定義域為整個實數集，值域是[0,1]。
在自变量为(2n+1)\pi（360^\circ n+180^\circ，其中n为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为2n\pi（或360^\circ n）时，该函数有极小值0。半正矢函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

半正矢函數有很多種表示法，包括了*haversin(θ)、 semiversin(θ)、 semiversinus(θ)、 havers(θ)、 hav(θ)、 hvs(θ)*、
*sem(θ)或 hv(θ)*。

歷史
半正矢函數出現於半正矢公式中，其可以据两点的经度和纬度来确定大圆上两点之间距离，且在導航術中被廣泛地使用，因此十九和二十世纪初的导航和三角测量书中包含了半正矢值表和对数表。第一份英文版的半正矢表由詹姆斯·安德鲁（）在1805年印刷出版。而弗洛里安·卡喬里相信类似的术语在1801年就曾被使用过。

1835年，

其他備受推崇的半正矢表還有理查德·法利（Richard Farley）發表於1856年的半正矢表以及約翰·考菲爾德·漢寧頓（John Caulfield Hannyngton）發表於1876年的半正矢表。

半正矢在導航術中持續有相關應用，而近幾十年來發現了半正矢新的應用。如1995年來布魯斯·D·斯塔克（Bruce D. Stark）利用之清晰的月角距計算方法，以及2014年提出用於之更緊湊的方法
:\operatorname{hav} z = \frac{2-e^{iz}-e^{-iz}}4
半正矢也可以使用麦克劳林级数來定義：
:\operatorname{archav} z = 2\arcsin\sqrt{z}
反半正矢函數也可以使用級數來定義：

相關函數
半餘矢
]]
半餘矢（英文：hacoversed sine、hacoversine或 cohaversine）是半正矢的餘角函數，為餘矢函數的一半，寫為*hacoversin(θ)、 semicoversin(θ)、 hacovers(θ)、 hacov(θ)或hcv(θ*)。

半餘矢定義為：
:\operatorname{hacoversin} z = \frac12\operatorname{coversin} z
其他等價的定義包括： or havercosine），是餘的正矢函數的一半，寫為*havercosin(θ), havercos(θ), hac(θ)或 hvc(θ)*。
餘的半正矢定義為：
:\operatorname{havercosin} z = \frac12\operatorname{vercosin} z
其他等價的定義包括： 在這些應用中，它被稱為或升餘弦濾波器。 同樣，餘的正矢（vercosine）之半值函數（havercosine）也用於機率論和統計學的。

可以使用餘的半正矢定義如下：
:f(x;\mu,s)=\frac{1}{s}\operatorname{hvc}\left(\frac{x-\mu}{s}\,\pi\right)\,=\frac{1}{2s}
\left[1+\cos\left(\frac{x-\mu}{s}\,\pi\right)\right]\,

餘的半餘矢
]]
餘的半餘矢（英文：hacoversed cosine、 hacovercosine或 cohavercosine）是餘的半正矢的餘角函數，可定義為餘的餘矢函數的一半，寫為*hacovercosin(θ)、 hacovercos(θ)或 hcc(θ)*。
餘的半餘矢定義為：
:\operatorname{hacovercosin} z = \frac12\operatorname{covercosin} z
其他等價的定義包括：
:\operatorname{hacovercosin} z = \frac{1 + \sin z}{2}

註釋
參考文獻