比例性质是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。
合比性质
表述
在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。
数学表示
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}。
证明
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1
\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}
证毕
分比性质
表述
在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
数学表示
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}。
证明
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1
\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}
证毕
合分比性质
表述
在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
数学表示
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}。
证明
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
令k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则a=b\cdot k,c=d\cdot k
\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1}
\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}
\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}
证毕
等比性质
表述
在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等
数学表示
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}。
证法一
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
令k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则a=b\cdot k,c=d\cdot k
\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k
\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
证毕
证法二
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}
由合比性质\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}
\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}
即\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
证毕
推论
已知a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n，且有b_i\neq0，如果\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}，则有\frac{\sum_i^n{a_i}}{\sum_i^n{b_i}}=\frac{a_i}{b_i}。
比例的线性组合
由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。
合分比性质的线性组合推论
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}。
证明：
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
令k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则a=b\cdot k,c=d\cdot k
\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}
\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}=\frac{\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}
\therefore \frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}
证毕
等比性质的线性组合推论一
已知a,b,c,d\in\mathbb{C}，且有b\neq0,d\neq0，如果\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则有\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}。
证明：
\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
令k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则a=b\cdot k,c=d\cdot k
\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}=k
\therefore \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
证毕
等比性质的线性组合推论二
已知a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n，且有b_i\neq0，如果\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}，则有\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}。
证明：
令k=\frac{a_i}{b_i}，则a_i=b_i\cdot k
\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{\sum_i^n{\lambda_i kb_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{k\sum_i^n{\lambda_i b_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=k
\therefore \frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}
证毕
评论 (0)