除子

除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼曲面X上，它可以简单的定义为X上的点的（整係數）形式線性組合， D=\sum_{}^{} n_{p}p。更一般地說，对于代数閉體上的非奇异代数簇，它可以定义为餘维度为一的子簇的（整係數）形式線性組合，也可以定义为层K^_X/O^_X的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面上的除子
在黎曼曲面X上，它可以简单的定义为X上的点的（整係數）形式線性組合， D=\sum_{}^{} n_{p}p，其中p是X上的点。型如p的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。X上的全部除子构成一个交换群，记作\text{Div}(X)。

对于X上的非零亚纯函数f，我们可以定义f的除子

\text{div}(f)=\sum_{p}^{}v_{p}(f)p，

其中v_{p}(f)是f在p点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如\text{div}f的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作\text{Prin(X)}。除子类群定义作\text{Cl}(X)=\text{Div}(X)/\text{Prin(X)}。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面X的一个重要不变量。

从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于X上任意的除子 D=\sum_{}^{} n_{p}p，和X的开集U，可以定义D在U上的限制 D|_{U}=\sum_{p\in U}^{} n_{p}p。函子U\mapsto \text{Div}(U)是X上的层。

给定X上任何一个除子D，局部上D都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在X的一组开覆盖{U_i}以及每个U_i上的函数f_i，使得D|_{U_i}=\text{div}(f_i)。一般说来，在U_i和U_j的交集上，f_i和f_j的限制未必相等，但易见在U_{ij}上，存在一个处处非零的全纯函数h，使得f_{i}h=f_j。另外，f_i的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数h来修正它。反过来，任意一组这样的数据\{(U_i, f_i)\}，都给出了X上的一个除子。

以上论证表明，黎曼曲面上的任意一个除子D，都唯一地对应于层K^_X/O^_X的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发，不难构造除子D所对应的可逆层\mathcal{O}_X(D)：取X的一组开覆盖{U_i}，以及每个U_i上的函数f_i，使得D|_{U_i}=\text{div}(f_i)。取U_i上的平凡层\mathcal{O}_{U_i}，在交集U_{ij}=U_i\cap U_j上，如前所述\dfrac{f_j}{f_i}是U_{ij}上的一个可逆函数，从而它定义了U_{ij}上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射\mathcal{O}_{U_i}|_{U_{ij}}\cong\mathcal{O}_{U_j}|_{U_{ij}}，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了X上的一个可逆层。

反过来，对于黎曼曲面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若\mathcal{L}是可逆层，令D为任意一个亚纯截面的除子，则\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(D)。

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射[D]\mapsto \mathcal{O}_X(D)给出了它与\text{Pic}(X)的一个同构。这里\text{Pic}(X)是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子D=\sum_{}^{} n_{p}p，我们可以定义D的次数\text{deg}D=\sum_{}^{} n_{p}。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子
若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子
假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为 \mathcal{M}_{X}^{\ast} 。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 \mathcal{O}_{X}^{\ast} 为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 \mathcal{M}_{X}^{\ast}/\mathcal{O}_{X}^{\ast} 的一个整体截面。

类群
Cartier除子类群
Cartier除子定义的线丛