黄金进制（）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.61803399\ldots是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黄金进制下，任何非负整数都约定使用0和1表示，并且不连续使用两个1，这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11，就一定可以根据黄金比φ的性质 φ+φ=φ 表示成标准形。例如，11φ = 100φ。

虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。

举例
转化到标准形
211.01φ是φ进制数，但并非标准形，因为它含有“11”和“2”，以及1=-1。我们可以根据以下公式将它转化到标准形：
*011φ = 100φ
*0200φ = 1001φ
*010φ = 101φ

公式的代换过程对结果没有影响。具体过程如下：

211.01φ
300.01φ 011φ → 100φ
1101.01φ 0200φ → 1001φ
10001.01φ 011φ → 100φ (again)
10001.101φ 010φ → 101φ
10000.011φ 010φ → 101φ (again)
10000.1φ 011φ → 100φ (again)

任意非标准形正数都可以唯一地标准化。这样处理之后如果第一位是负数，此时需要将每一位数都变成相反数，重新标准化并加上负号。例如：
:101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ

整数的黄金进制表示
通常所说的整数在黄金进制下是有限小数。例如，整数5转化成黄金进制的过程如下所示：

5以下φ的最高次冪是 φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236；

与5求差为5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；

0.763以下最大的φ的冪是 φ－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；

再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145

0.145以下最大的φ的冪是 φ－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；

再次求差得到0

于是：　5 = φ3 + φ－1 + φ－4

5用φ进制表示就是1000.1001φ。

这里其实利用了以下事实：凡φ的冪都可以用整数a、b表示成 a + b φ 的形式。因为 φ2 = φ + 1 、φ－1 = -1 + φ 。如此一来，数之间比大小就容易了。实际上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等价。只需将 φ = (1+√5)/2 代入，稍作处理就可得到这一结果。

黄金进制下的有限小数不全是整数，还包括环\mathbb{Z}[\phi]:= \{ a+b\phi \mid a,b \in \mathbb{Z} \}的元素。

数的表示不唯一
和其他进位制相同，黄金进制中也可以用多种形式表示同一个数。就像10进制中0.999...=1，φ进制中0.1010101…φ=1。

*使用非标准形变换：1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
*使用等比級数展开：1.0101010…φ 等于
*:\sum_{k=0}^\infty \phi^{-2k}=\frac{1}{1-\phi^{-2}} = \phi
*错项相减：φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ 所以 x = φ/(φ2 － 1) = 1

这种不唯一是进位制的特征，1.0000和0.101010…都是标准形。一般地，φ进位制中数最后的1用01循环代替即可得到另一标准形。

有理数的黄金进制表示
在黄金进制中，可以用有限小数或者循环小数表示任意非负有理数，以及从有理数和√5生成的域Q[√5]中的非负元素。其中
:\mathbb{Q}(\phi)=\mathbb{Q}(\sqrt{5}):= \{ a+b\sqrt{5} \mid a,b \in \mathbb{Q} \}
相反地，黄金进制中的有限/循环小数都是Q[√5] 中的非负元素。例如：

*1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... φ
*1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... φ
*√5 = 10.1φ
*2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ...φ

对这一点的证明与十进制中类似。在黄金进制下进行长除法。因为其余数的可能值是有限个，所以必定会出现循环。例如 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ 进行长除法如下：

.0 1 0 0 1
________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 代换 10000 = 1100 = 1011
_______ 于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
1 0 0 0 0
1 0 0 1
_______
etc.

反之，黄金进制中的循环小数都属于Q[√5]。因为循环部分形成了等比级数，对它求和即可得到Q[√5]的元素。

无理数的黄金进制表示
常见无理数的黄金进制表示如下：

• π ≈
• e ≈
• √2 ≈
• φ = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = φ（在此計數系統為整數）
• √5 = φ

四则运算
在黄金进制中可以和其它进制一样进行四则运算。加法、减法、乘法的计算方法如下：
加、减、乘
;先计算，后转化
:即先对每一位按十进制数的方法计算，但不进行进位、借位，计算完再转化为标准形。例如：
::2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
::2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
::7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001
;避免0和1以外的数
:更加自然的做法是将数转化为非标准形，以避免出现需要进位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：
::2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
::7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法
除了整数以外，所有有理数都不能用有限位φ进制数表示。也就是说，黄金进制中能用有限小数表示的数只有整数或者域Q[√5]中的无理数。两个整数相除得到有理数的情况已经在上文说明了。

斐波那契进制
斐波那契进制（Fibonaccimal Base）是與黃金进制關係緊密的計數系統。它只用0和1表示數，每個數位的位值對應斐波那契數，而省去後的結果則與齊肯多夫表述法相同。

参见

• 进位制

外部链接

• [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phigits.html Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)]

参考资料
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