基爾霍夫衍射公式

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在光學裏，菲涅耳-基爾霍夫衍射公式（）可以應用於光波傳播的理論分析模型或數值分析模型。從菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，可以推導出惠更斯－菲涅耳原理，並且解釋一些惠更斯－菲涅耳原理無法解釋的物理現象與結果。菲涅耳-基爾霍夫衍射公式常被稱為「基爾霍夫衍射公式」（）。

從基爾霍夫積分定理，在假定一些近似之後，可以推導出菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。

惠更斯原理
惠更斯原理是克里斯蒂安·惠更斯于1678年提出的关于波传播的理论。惠更斯原理表明，假设在时间t=t_0由主波源Q0发射出的球面波，在时间t=t_1传播到波前\mathbb{S}，那么位於波前\mathbb{S}的每一个面元素向量\mathrm{d}\mathbf{S}都可以被视为一个次波源，所有从这些次波源发射出的次波，在之后时间t=t_2波前的包络面就是主波源Q0所发射出的球面波在时间t=t_2的波前。

惠更斯-菲涅耳原理
\mathbb{S}的每一點Q都可以視为次波源，它们會發射出次波，在空間任意一點P的波擾是所有這些次波在該點P的相干疊加。]]
波动有两个基本属性：
:*它是波扰的传播
:*它具有时空周期性，能够相干叠加。

惠更斯原理只阐述了前一条属性，奧古斯丁·菲涅耳将惠更斯提出的次波的概念加以延伸，提出用“次波相干叠加”的点子来解释衍射现象，这就是惠更斯-菲涅耳原理。这原理表明，波前\mathbb{S}的每个面元素向量\mathrm{d}\mathbf{S}'都可以视为次波源，它们会发射出次波，在空间任意一点P的波扰是所有这些次波在该点P的相干叠加。设定位於波前\mathbb{S}的任意一点Q，它在点P贡献的複振幅为\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')；其中，\mathbf{r}、\mathbf{r}'分别为点P、点Q的位置。在点P的总波扰为

::\psi(\mathbf{r})=\oint_{\mathbb{S}}\,\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')。

为了将这公式具体化，菲涅耳凭借直觉对\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')作出了如下假设：
*它应当正比于面元素的面积：
::\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\mathrm{d}S'。
*它应当正比于次波源的複振幅：
::\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\psi(\mathbf{r}')。
*次波源发射出的次波应是球面波，其中k是波数：
::\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\frac{e^{ikR}}{R}；其中，\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'是从点Q到点P的位移向量。
*次波源发射出的次波是各向异性的。假设\hat{\mathbf{n}}是与面元素向量\mathrm{d}\mathbf{S}'同方向的单位向量，\chi是\hat{\mathbf{n}}与\hat{\mathbf{R}}之間的夾角，则倾斜因子K(\chi)与\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')的关系为
::\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto K(\chi)。

根据以上假设可以得到如下菲涅耳衍射积分公式
:\psi(\mathbf{r})=c\oint_{\mathbb{S}}\,\psi(\mathbf{r}')K(\chi)\frac{e^{ikR}}{R}\,\mathrm{d}S'；

其中，c是比例常数。

菲涅耳-基尔霍夫衍射公式
在菲涅耳衍射积分公式提出六十余年后，古斯塔夫·基爾霍夫用严格的数学理论推导出菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：

對於單頻率波，解答為
:\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}
\left[\psi(\mathbf{r}')\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]
\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{S}' ，

或者
:\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}
\left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]
\,\mathrm{d}S' ；

其中，\mathbf{r}、\mathbf{r}'分別是從點Q0到點P、點Q的位移向量，\psi(\mathbf{r})是在點P的波擾，\mathbf{R}=\mathbf{r}- \mathbf{r}'是從點Q到點P的位移向量，R是其數值大小，k是波數，\nabla'是對於源位置\mathbf{r}'的梯度，\mathrm{d}\mathbf{S}'是從閉合曲面\mathbb{S}向外指出的微小面元素向量，\frac{\partial}{\partial n'}是閉合曲面\mathbb{S}的法向導數。

在推導基爾霍夫衍射公式的過程中，基爾霍夫做了以下假定：
*點波源與孔隙之間的距離r'超大於波長\lambda=2\pi/k。
*R超大於波長\lambda。

點波源
從點波源Q0發射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數值大小與傳播距離成反比，在點Q的波擾以方程式表達為
:\psi(\mathbf{r}') = \psi_0\frac{e^{ikr'}}{r'} ；

其中，\psi_0是複值波幅。

假設點P在閉合曲面\mathbb{S}之外，應用基爾霍夫積分定理的方程式，可以得到在點P的波擾：
:\psi(\mathbf{r}) =\frac{\psi_0}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}}
\left[\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\right]
\cdot\,\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S'；

其中，\hat{\mathbf{n}}是與\mathrm{d}\mathbf{S}'同方向的單位向量。

注意到球面出射波的梯度為
:\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
=-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\left(ik-\ \frac{1}{R}\right)\hat{\mathbf{R}}、
:\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)
=\left( \frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\left(ik-\ \frac{1}{r'}\right)\hat{\mathbf{r}'}。

從基爾霍夫所做的假定，k\gg 1/R、k \gg 1/r'（例如，假設距離大約為1mm，則對於波長在0.4μm至0.7μm之間的可見光，可以做這假定；但對於波長在1mm至1m之間的微波，這假定不適用），則上述兩個公式近似為
:\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
=-ik\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\hat{\mathbf{R}}、

:\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)
=ik\left( \frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\hat{\mathbf{r}'}。

所以，在點P的波擾
:\begin{align}\psi(\mathbf{r}) & =-\ \frac{i\psi_0}{2\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ik(r'+R)}}{r'R} \right)(\hat{\mathbf{r}'}\cdot\hat{\mathbf{n}}+\hat{\mathbf{R}}\cdot\hat{\mathbf{n}})
\,\mathrm{d}S' \\
& =-\ \frac{i\psi_0}{2\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ik(r'+R)}}{r'R} \right) (\cos\alpha+\cos\chi)
\,\mathrm{d}S' \\
\end{align} ；

其中，\alpha、\chi分別是\hat{\mathbf{r}'}、\hat{\mathbf{R}}與\hat{\mathbf{n}}之間的夾角。

這就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，或基爾霍夫衍射公式。

傾斜因子
[[File:Kirchhoff Diffraction Formula Circular Surface.svg|thumb|200px|傾斜因子K(\chi)為[1+\cos(\chi)]/2。]]
如右圖所示，假設閉合曲面\mathbb{S}是圓球面，點波源Q0與圓球面\mathbb{S}的圓心同點。在圓球面\mathbb{S}的任意位置，\hat{\mathbf{r}'}與\hat{\mathbf{n}}同向，所以，
:\cos\alpha=1。

注意到r'是圓球面\mathbb{S}的半徑，對於這積分，r'值不變，可以從積分裏提出。在點P的波擾為
:\psi(\mathbf{r}) =-\ \frac{i\psi(\mathbf{r}')}{\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)K(\chi)\,\mathrm{d}S'；

其中，K(\chi)=\frac{1+\cos\chi}{2}為傾斜因子。

應用惠更斯－菲涅耳原理，所得到在點P的波擾的方程式，就是這方程式。但是，惠更斯－菲涅耳原理無法解釋相位差與傾斜因子的物理原因。傾斜因子使得次波的波幅會因為傳播方向而不同；朝著主波方向，波幅較大；逆著主波方向，波幅較小。這解釋了為甚麼波動只會朝著前方傳播的物理現象。

參閱
*帕松光斑
*基爾霍夫衍射公式
*基爾霍夫積分定理

参考文献