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停时

Wikipedia · 2026-07-10 维基百科 👁 1 阅读

的首中时]]

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。

停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统”
。

定义
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement =

(X,\,\Sigma,\,P)是機率空間，\leq 是集合 T 上的全序关系，若有個单射 \mathcal{F}:T \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)] 滿足：

  • 對所有 t \in T ， \mathcal{F}(t) 是 X 上的Σ-代数，且 \mathcal{F}(t) \subseteq \Sigma 。
  • 對所有 s,\,t \in T ， 若 t \leq s 則 \mathcal{F}(t) \subseteq \mathcal{F}(s)

那 \mathcal{F} 被稱為 (X,\,\Sigma,\,P) 上的一個滤子/域流（filtration），也可以稱(X,\,\Sigma,\,\mathcal{F},\,P) 為一個濾波（機率）空間。
}}

要強調是用哪個集合 T 去定義濾子的時候，可以仿造序列的标记，把濾子記為 {\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T} ，然後把 \mathcal{F}(t) 也簡記為 \mathcal{F}_t 。

{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement =

(X,\,\Sigma,\,{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T},\,P) 為一個濾波空間，若函数 \tau :X \to T 滿足。
: (\forall t \in T)\bigg\{
\{
x \in X \,|\,
\tau(x) \leq t
\}
\in \mathcal{F}_t
\bigg\}
那稱 \tau 為濾子 {\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T} 的一個停時（stopping time）
}}
例子
为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

赌且只赌一次，对应于停时\tau* = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
*当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
*当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
*当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系（加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
*当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化
停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 X 是一个（随机）过程，\tau 是它的一个停时，那么 X^\tau 就用来表示过程 X 在 \tau 时刻停止。
: X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}
那么，X 被认为局部满足 P 特性，若存在一列停时 \tau_n，n \to \infty ，1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n} 满足特性 P。常见的例子如下面两个，其中 I = [0,\infty)：.
*（局部鞅）过程 X 是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时 \tau_n，n \to \infty ，使得 1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}对 \forall n \in N 是一个鞅。

*（局部可积）非负连续的过程 X 是局部可积的，若存在一列停时 \tau_n，n \to \infty ，使得\forall n \in N ，\mathbb{E}(1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n})。

停时的类型
停时（表示时间的下标取自 I=[0,\infty]）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 \exists {\tau_n}， n \in N， \forall n ，满足 0，有\lim_{n \to \infty}x_n，则停时 \tau 是可预测的。{\tau_n} 被称为 \tau 的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程的到达时间。取 a \in R，设 X 是实值连续过程，若\tau 是第一个使得 X = a 的时刻，则 \tau 是可被 \tau_n 逼近的，即 \tau_n是第一个使得 |X-a| 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即，\tau 是可接近的，若：对于部分 n ，P(\tau=\tau_n)=1，其中 \tau_n 是可预测的时刻。

若停时 \tau不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为完全不可接近的。等价地，P(\tau = \sigma ，其中\sigma 是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 \tau 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 \sigma 和惟一的完全不可接近的 \upsilon，使得凡有 \sigma 则 \tau = \sigma，凡有 \upsilon 则 \tau = \upsilon，若 \sigma = \tau = \infty，则 \tau = \infty。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 \infty。

参见

  • 最优停止问题
  • 秘书问题
  • 首中时
  • 停止过程
  • 停车问题

参考文献
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延伸阅读

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#随机过程

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