戴德金分割（）是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集A及其中某个元素x而言，将A分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在x之前、另一真子集中所有元素均在x之后。

常见的是对于全体有理数的操作，即A=\mathbb{Q}。对于有理数x，将有理数集合分拆为两个非空集合A和A'，若A和A'满足条件：

\forall a \in \mathbb{Q}，关系式a \in A和a \in A'必有且只有一个成立。

\forall a \in A，\forall a' \in A'，必有a ，并且a \le x和x \le a'两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为A|A'。其中集合A称为戴德金分割的下组，集合A'称为戴德金分割的上组。

分类
根据戴德金分割中A和A'是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：

A中有最大数，A'中无最小数

A中无最大数，A'中有最小数

A中无最大数，A'中无最小数

可以证明，“A中有最大数，A'中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果A有最大数a，A'有最小数b，则根据分割的定义可知 a。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且 a，因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 A' 中，这就与 A\cup A' 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（A和A'之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于A，也不属于A'，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 (-\infty, d]\cup(d, +\infty)、(-\infty, d)\cup[d, +\infty) 和 (-\infty, d)\cup(d, +\infty)，而“A中有最大数、A'中有最小数”的情况就是 (-\infty, d]\cap[d, +\infty)，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

例子

将所有小于或等于0的有理数划分为集合A，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合A'，则A|A'是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。

将所有小于0的有理数划分为集合A，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合A'，则A|A'是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。

将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足\forall a \in \mathbb{Q}, a \leq 0, a^{2} \leq 3的数）划分到集合A，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合A'，则A|A'是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割A|A'定义了无理数\sqrt[]{3}。

定義大小
假设无理数\alpha由分划A|A'所确定，无理数\beta由分划B|B'所确定，则

若集合A=B或A'=B'，则称无理数\alpha与\beta相等，记为\alpha = \beta。

若集合A \supset B（A \neq B），则称无理数\alpha大于\beta，记为\alpha > \beta。

无理数小于（）的概念可由大于（>）的概念定义，即\beta 当且仅当\alpha > \beta。如此得到實數系的大小關係，其性質有：

任意实数\alpha , \beta，必有且只有下列关系式之一成立：\alpha = \beta, \alpha > \beta, \alpha 。

传递性：若实数\alpha > \beta, \beta > \gamma，则\alpha > \gamma。对于小于（）的情形，传递性同样成立。

所以該大小關係是全序關係。

参阅

• 无理数
• 實數的構造

参考文献
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