《電磁場的動力學理論》（）是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。
這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。
馬克士威原本的方程式
在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。
黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。
以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為
;(A) 總電流定律
:\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} 、
;(B) 磁場方程式
:\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A} 、
;(C) 安培環路定理
:\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot} 、
;(D) 勞侖茲力方程式
:\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi 、
;(E) 電彈性方程式
:\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D} 、
;(F) 歐姆定律
:\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J} 、
;(G) 高斯定律
:\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho 、
;(H) 連續方程式
:\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} 。
;標記符號：
:\mathbf{H} 是磁場強度，
:\mathbf{J} 是傳導電流密度，
:\mathbf{J}_{tot} 是總電流密度（包括位移電流密度），
:\mathbf{D} 是電位移，
:\rho 是自由電荷密度，
:\mathbf{A} 是磁向量勢，
:\mathbf{E} 是電場，
:\phi 是電勢，
:\mu 是磁導率，
:\epsilon 是電容率，
:\sigma 是電導率 。
關於介質的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。
值得注意的是，馬克士威將 \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 \mathbf{v} 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。
光波是電磁波
在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說：
馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。
由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。
馬克士威的推導
假設電磁波是一個平面波，以波速 V 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 w=z - Vt 。根據磁向量定義式(B)，
:\mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z} ；
其中，B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H} 是磁感應強度的定義式。
注意到 B_z=0 ， 還有，\mathbf{B} 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。
根據安培環路定理(C)，
:\mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}
= - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right) ；
假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 \mathbf{J} 等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，
:\mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ；
假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，
:\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0 、
:\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0 。
再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：
:\frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0 、
:\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0 。
鏈式法則要求
:\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} 、
:\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} 。
所以，
:\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0 、
:\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0 。
傳播的速度為
:V=1/\sqrt{\mu\epsilon} 。
設定磁導率為磁常數 \mu_0 ，電容率為電常數 \epsilon_0 ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。
類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：
:\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0 、
:\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0 、
:E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z} 。
注意到，E_z 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。
現代推導
在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為
:\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 、(1)
: \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} 、(2)
: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 、(3)
: \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} ；(4)
其中，\mu_0 是磁常數，\varepsilon_0 是電常數。
分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，
: \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} 、
: \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} 。
應用一則向量恆等式
:\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}；
其中， \mathbf{Z} 是任意向量函數。
將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0 、(5)
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0 ；(6)
其中，c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。
參閱
*《論法拉第力線》
*電磁波方程式
*弯曲时空中的麦克斯韦方程组
*非齊次的電磁波方程
*馬克士威應力張量
*麦克斯韦方程组的历史
*電磁學與經點光學時間表()
參考文獻
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