交替方向隐式法

数值分析中，交替方向隐式法（Alternating direction implicit method）是有限差分法的一种，用于求解抛物线型偏微分方程或椭圆型偏微分方程。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程与扩散方程。

求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法，该方法较为耗时。ADI的优点在于，每一迭代步中，所求解的方程具有更为简单的结构，因此更易于求解。

方法
考虑二维扩散方程,

: { \partial u \over \partial t} =
\left( { \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right) =
( u_{xx} +u_{yy} ) \quad

隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程：

: { u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n \over \Delta t } =
{1 \over 2} \left( \delta_x^2 + \delta_y^2 \right) \left( u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n \right)

其中，\delta_p是关于坐标方向p上的中心差分算符。通过稳定性分析可以证明该方法对于任意\Delta t都表现稳定。

但是，Crank-Nicolson方法的缺点在于，上述方程中的带状矩阵分布过宽，这使得求解方程相当耗时。

ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个，一个在x方向上隐式求导，另一个在y方向上隐式求导。

: {u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n\over \Delta t/2} =
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n}\right)

: {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}\over \Delta t/2} =
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n+1}\right).

这样，该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵，可以用三对角阵的求解算法进行计算。

可以证明，二维条件下该方法无条件稳定。

在此基础上扩展有更多的ADI方法，如Douglas，f-factor方法，可用于求解三维及更高维的问题。

参考文献