模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

模糊集
定义和表示
给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射
\mu_{A}: U \mapsto [0,1]
称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集
，
记为 A 。
映射（函数） μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A 的隶属函数。
对于每个 x ∈ U ， μA(x) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。

Zadeh 记法，例如 A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。

序偶法，例如 A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。

向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相关概念

• 模糊集 A 的承集或支集记为 \text{supp}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}。
• 模糊集 A 的核记为 \text{ker}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}。
• 模糊集 A 的高度记为 \text{hgt}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}。
• 模糊集 A 的深度记为 \text{dpn}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}。

模糊度
一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质：

清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）

模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）

单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。

对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（补集的模糊度相等。）

可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是

\begin{align}
D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\
D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u
\end{align}

其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊集的运算
各种算子

• Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\
a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}

• 代数算子（概率和、代数积）

\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\
a\cdot b &= ab\end{align}

• 有界算子

\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\
a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}

• Einstein 算子

\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\
a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}

• Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

\begin{align}
a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\
a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}
\end{align}

• Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\
a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}

• λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ [0,1] 是参数

\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\
a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}

• Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是参数

\begin{align}
a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\
a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}}
\end{align}

算子的性质
参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

线性补偿是指：

(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))

模糊集与经典集的关系
截集与截积
设 A\in \mathcal{F}(U)，任取 \lambda \in [0,1]，则

: A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}，

称 Aλ 为 A 的 λ 截集，而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 ASλ，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A1 为 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，则称 A 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设 λ ∈ [0,1]，A ∈ F(U)，则 ∀ u∈U，λ 与 A 的截积（或称为 λ 截集的数乘，记为 λA）定义为：

: (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=
\begin{cases}
A(u), &\lambda \geq A(u),\\
\lambda, &\lambda

根据定义，截积仍是 U 上的模糊集合。

分解定理与表现定理
分解定理：

设 A∈F(U)，则

: A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda

即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设 H 为 U 上的任何一个集合套，则

: A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)

是 U 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有

（1） ASλ = ∪α>λ H(α)

（2） Aλ = ∩α H(α)

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊集之间的距离
使用度量理论
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

:
\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}

贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

*; 最大最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}

*; 算术平均最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}

*; 几何平均最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}

*; 指数贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}

模糊关系
模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。

定义
设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y *具有关系 R 的程度*为 α。特别地：

• 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I
• 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记为 0
• 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系，记为 E

模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算转置，定义为

: RT(x,y) = R(y,x)

易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。

关系以及关系的合成的矩阵表达
关系的合成：

对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R，以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为

: \displaystyle (R\circ S)(x_i,z_j)=\bigvee_{k\leq p}[R(x_i,y_k)\wedge S(y_k,z_j)]

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。

例子：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：

|

|

|}

模糊关系与分类
模糊等价关系定义：

设 U 中的模糊关系 R 满足

; 1. 自反性 : ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
; 2. 对称性 : ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
; 3. 传递性 : ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时，R(x , z) ≥ λ
则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截关系 Rλ 是 U 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 ⊆ R。

分类：

如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 λ 截集，即可得到这个水平上的分类。

如果模糊关系是相似关系，计算 R ≡ R2^k = R2^(k+1)，则 R** 可被证明是等价关系。

模糊推理
注释
參考文獻