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干涉 (物理学)

Wikipedia · 2026-05-28 维基百科 👁 1 阅读

干涉（）在物理学中，指的是兩列或两列以上的波在空间中重疊時发生叠加，从而形成新波形的現象。

例如采用分束器将一束单色光束分成两束后，再让它们在空间中的某个区域内重叠，将会发现在重叠区域内的光强并不是均匀分布的：其明暗程度随其在空间中位置的不同而变化，最亮的地方超过了原先两束光的光强之和，而最暗的地方光强有可能为零，这种光强的重新分布被称作“干涉条纹”。在历史上，干涉现象及其相关实验是证明光的波动性的重要依据，但光的这种干涉性质直到十九世纪初才逐渐被人们发现，主要原因是相干光源的不易获得。

为了获得可以观测到可见光干涉的相干光源，人们发明制造了各种产生相干光的光学器件以及干涉仪，这些干涉仪在当时都具有非常高的测量精度：阿尔伯特·迈克耳孙就借助迈克耳孙干涉仪完成了著名的迈克耳孙-莫雷实验，得到了以太风观测的零结果。迈克耳孙也利用此干涉仪測得的精確長度，並因此獲得了1907年的諾貝爾物理學獎，每一次作用的时间都在10−9秒的數量级，则对於两次发生时间间隔较远所产生的波列而言，它们无法彼此发生干涉。基于这个原因，可以认为太阳是由很多互不相干的点光源组成的扩展光源。从而，太阳光具有非常宽的频域，其振幅和相位都存在着快速的随机涨落，通常的物理仪器无法跟踪探测到变化如此之快的涨落，因此无法通过太阳光观测到光波的干涉。类似地，对于来自不同光源的两列光波，如果这两列波的振幅和相位涨落都是彼此不相关的，称这两列波不具有相干性：

:I = \left \langle \mathbf{S} \right \rangle = \frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,

从而光强可以用\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\, 这个量来表征。对於单色光波场，电矢量\mathbf{E}\,可以写为

:\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2}\left [\mathbf{A}(\mathbf{r})e^{-i \omega t} + \mathbf{A}^{*}(\mathbf{r})e^{i \omega t}\right ]\,

这里\mathbf{A}(\mathbf{r})\,是复振幅矢量，在笛卡尔直角坐标系下可以写成分量的形式\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^3 a_i(\mathbf{r})e^{i\phi_i(\mathbf{r})}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,。

这里a_i(\mathbf{r})\,是在三个分量上的（实）振幅，对於平面波a_i(\mathbf{r}) = a_i\,，即振幅在各个方向上是常数。\phi_i(\mathbf{r})\,是在三个分量上的相位，\boldsymbol{\phi}(\mathbf{r}) = \mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \delta_i\,，\delta_i\,是表征偏振的常数。

要计算这个平面波的光强，则先计算电场强度的平方：

:\mathbf{E}^2 = \frac{1}{4}\left [\mathbf{A}^2e^{-2i \omega t} + \mathbf{A}^{2}e^{2i \omega t} + 2\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{}\right ]\,

对於远大于一个周期的时间间隔内，上式中前两项的平均值都是零，因此光强为

:I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \frac{1}{2} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*} = \frac{1}{2}\left (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right )\,

对於两列频率相同的单色平面波\mathbf{E}_1\,、\mathbf{E}_2\,，如果它们在空间中某点发生重叠，则根据叠加原理，该点的电场强度是两者的矢量和：

:\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2\,

则在该点的光强为

:I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle + \left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle + 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,。

其中\left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle\,、\left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle\,是两列波各自独立的光强，而2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,是干涉项。
用\mathbf{A}\,、\mathbf{B}\,表示两列波的复振幅，则干涉项中\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\,可以写为

:
\begin{align}
\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 & = \frac{1}{4} \left [ \mathbf{A}e^{-i\omega t} + \mathbf{A}^{}e^{i\omega t} \right] \left [ \mathbf{B}e^{-i\omega t} + \mathbf{B}^{}e^{i\omega t} \right]\\
& = \frac{1}{4} \left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}e^{-2i\omega t} + \mathbf{A}^{}\cdot \mathbf{B}^{}e^{2i\omega t} + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{} + \mathbf{A}^{}\cdot \mathbf{B} \right )
\end{align}
\,

前两项对时间取平均值仍然为零，从而干涉项对光强的贡献为

:2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = \frac{1}{2}\left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{} + \mathbf{A}^{}\cdot \mathbf{B} \right )\,

根据前面复振幅的定义，\mathbf{A}\,、\mathbf{B}\,可以在笛卡尔坐标系下分解为
:\mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 a_i e^{i\phi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,
和
:\mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 b_i e^{i\psi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,

将分量形式代入上面干涉项的光强，可得
2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = a_1b_1\cos(\phi_1 - \psi_1) + a_2b_2\cos(\phi_2 - \psi_2) + a_3b_3\cos(\phi_3 - \psi_3)\,

倘若在各个方向上，两者的相位差\delta_i = \phi_i - \psi_i\,都相同并且是定值，即

:\delta = \phi_1 - \psi_1 = \phi_2 - \psi_2 = \phi_3 - \psi_3 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\,

其中\lambda\,是单色光的波长，\Delta L\,是两列波到达空间中同一点的光程差。

此时干涉项对光强的贡献为

:2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \delta = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L \,

光波是电矢量垂直於传播方向的横波，这里考虑一种简单又不失一般性的情形：线偏振光，电矢量位於x轴上，传播方向为z轴方向，则两列波在其他方向上的振幅都为零：
:a_2 = b_2 = a_3 = b_3 = 0\,
代入总光强公式：
:

\begin{align}

I & = \frac{1}{2}a_1^2 + \frac{1}{2}b_1^2 + a_1b_1\cos\delta \\

& = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta

\end{align}

因此干涉后的光强是相位差的函数，当\delta = 0,2\pi,4\pi,...时有极大值I_{\rm max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,；当\delta = \pi,3\pi,5\pi,...时有极小值I_{\rm min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\,。

特别地，当两列波光强相同即I_1 = I_2 = I_0\,时，上面公式可化简为

:I = 4I_0 \cos^2 \frac{\delta}{2}\,，此时对应的极大值为4I_0\,，极小值为0。

显然，对於不同的干涉情形，产生的极大值和极小值差异是不同的。由此可以定义条纹的\mathcal{V}\,作为条纹清晰度的量度：

:\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}\,，即可见度的范围为0到1之间。

虽然以上的讨论是基于两列波都是线偏振光的假设，但对於非偏振光也成立，这是由于自然光可以看作是两个互相垂直的线偏振光的叠加。

波前分割干涉（分波前干涉）
杨氏双缝
英國物理學者托马斯·杨於1801年做实验演示光的干涉演示，稱為楊氏雙縫实验。这实验对於光波动说給出有力支持，由于实验观测到的干涉条纹是艾薩克·牛頓所代表的光微粒说无法解释的现象，双缝实验使大多数的物理学家从此逐渐接受了光波动说。杨氏双缝的实验设置如右图所示，从一个点光源出射的单色波传播到一面有两条狭缝的擋板，两条狭缝到点光源的距离相等，并且两条狭缝间的距离很小。由于点光源到这两条狭缝的距离相等，这两条狭缝就成为了同相位的次级单色点光源，从它们出射的相干光发生干涉，因此可以在远距离的屏上得到干涉条纹。迈克耳孙测星干涉仪的长度约为6米，架设在口径为2.5米的胡克望远镜之上。其中两面平面镜M1、M2的最大间距为6.1米，并且是可调的；而平面镜M3、M4的位置是固定的，等於1.14米。当有星光入射到干涉仪上时，两组平面镜所构成的光路是等光程的，从而会形成等间距的干涉直条纹，而条纹间距为
:\Delta x = \frac{\lambda f}{d}\,

这里f\,是望远镜的焦距，d\,是平面镜M3和M4之间的距离。而平面镜M1和M2之间的距离相当於扩展光源的线度，当M1和M2靠得很近时干涉条纹的可见度接近於1，随着两者间距增加可见度会逐渐下降为零。如果认为恒星是一个角直径为2\alpha\,，光强均匀分布的圆形光源，其可见度由下面公式给出

:\mathcal{V} = \frac{2J_1(u)}{u}\,，

其中u = 2\pi\alpha D/\lambda\,，J_1(u)\,是贝塞尔函数。随着逐渐增加平面镜M1和M2之间的距离D\,，当满足下面关系时，可见度首次降为零：

:D = 1.22\frac{\lambda}{2\alpha}\,
迈克耳孙测星干涉仪首次成功测量的恒星是参宿四，测得其角直径为0.047弧度秒，根据它到太阳的距离（约600光年）就可得到它的直径约为4.1×108千米，是太阳直径的300倍。事实上，这一台迈克耳孙测星干涉仪所能测量的都是直径在太阳直径数百倍的巨星，因为测量体积更小的恒星要求更大的M1和M2之间的距离，架设一台如此庞大的干涉仪对当时的技术而言相当困难。

振幅分割干涉（分振幅干涉）
等倾干涉
如右图所示，一个单色点光源S所发射的电磁波入射到一块透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面发生反射和折射，而折射光其后又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介质中。这条折射光必然会与另一条直接被上表面反射的反射光重合於空间中某一点，由于它们都是同一波源发出的电磁波的一部分，因此是相干光，这时会形成非定域的干涉条纹。若光源为扩展光源，一般而言干涉条纹的可见度会下降，但若考虑两条反射光平行的情形，即重合点在无限远处，此时会形成定域的等倾干涉条纹；后者是由于扩展光源造成了橫向相干長度減小，因此空间中不同点之间彼此的相干性下降。从而对於线度为b\,的扩展光源，其可见度是一个Sinc函数，因而在距离为R\,的波阵面上，具有空间相干性的范围近似可表为。此外，在激光领域法布里－珀罗干涉仪还被用来抑制谱线的展宽，从而获得单模激光。

如要观察到法布里－珀罗干涉仪的等倾干涉条纹，要在透射光的传播方向上垂直放置一透镜，当透镜光轴垂直于屏时，等倾干涉的条纹是一组同心圆，圆心对应着正入射透射光的焦点。此时由于是正入射，\theta_2 = 0\,，在干涉条件中m\,有最大值m_0\,因此，电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性，这被称作波粒二象性。自罗伯特·密立根於1916年完成了光电效应的一系列实验，以及阿瑟·康普顿於1923年观察到了X射线被自由电子的散射，并於1926年测定了光子的动量，物理学界都逐渐接受了电磁波也具有粒子性的这一事实。

然而，如果从光子的角度来理解干涉现象，就会出現一些令人費解的问题，例如，当两束相干光中对应的两个光子彼此发生干涉时，相长干涉的场合需要从两个光子中产生出四个光子，相消干涉的场合则需要两个光子彼此抵消，这违反了能量守恒定律：
:|\psi \rang = (|\psi_1 \rang +|\psi_2 \rang)/\sqrt{2}\,

其中，正交歸一的態向量|\psi_1 \rang\,、|\psi_2 \rang\,分别对应从狭缝1、狭缝2经过的量子态。

光子從這兩條狹縫抵達光檢測器的量子態|S(\theta)\rang \,為
:|S(\theta)\rang = (|\psi_1 \rang +e^{i\theta}|\psi_2 \rang)/\sqrt{2}\,
其中，\theta\,是由於光子從狹縫1或狹縫2抵達光檢測器的光程差所造成的相位差。

所以，光检测器探测到这一光子的概率p(\theta) \,為
:p(\theta)=|\lang S(\theta) |\psi_1 \rang|^2=(1+\cos(\theta))/2\,

由於概率有相位差的諧和函數項，光检测器探测到的光子分佈狀況，從統計上看也就是光檢測器探測到的光強，會顯示出干涉條紋。这結果和经典的电磁波的矢量叠加結果非常相似——实际上，如果用电磁场来表示光子的波函数，在形式上能得到和经典干涉相同的结论。然而，这种等效从根本上是错误的，因为电磁场是一个可观测量，而波函数在哥本哈根诠释中是一个不可观测量；从光子角度所看到的双缝实验是单个光子本身几率波的干涉，而几率也是单个光子出现在特定量子态的几率，而不是位於特定量子态的光子数量。关於这一点，保罗·狄拉克在《量子力学原理》中做了说明：

參見

  • 衍射
  • 摩尔纹
  • 干涉仪列表
  • 干涉測量術

註釋
参考文献
外部連結

#振动和波 #量子力学 #物理光學

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