啁啾

啁啾（）是指頻率隨時間改變（增加或減少）的訊號，名称取自信號聽起來類似鳥啾聲。通常應用於聲納、雷達和雷射系統，以及如擴頻通訊等其他應用。

定義
瞬時頻率
當有一信號 x(t)=A\sin(\phi(t) )，其瞬時角頻率為
:\omega(t) = \frac{\mathrm d\phi (t)}{\mathrm dt},
經適當歸一化所得瞬時頻率為
:f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm d\phi (t)}{\mathrm dt}.

啁啾度
對前兩式再求導，得到瞬時角頻率的變化速率為瞬時角啁啾度（）
:\gamma(t) = \frac{\mathrm d^2\phi (t)}{\mathrm dt^2},
類似有瞬時（普通）啁啾度（）為
:c(t)=\frac{1}{2\pi}\gamma(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm d^2\phi (t)}{\mathrm dt^2}.

分類
線性
，顯示頻率隨時間變化為線性，由0至7 kHz，每2.3秒重覆。圖中，色彩的鮮豔度表示訊號在指定時間和頻率所含的能量。]]
有種啁啾的瞬時頻率 f(t) 呈線性變化，即有 f(t)=f_0+ct，其中
:c = \frac{f_1-f_0}{T}
為常值。積分計算出，相位為 t 的二次函數：
:\begin{align}
\phi(t) &= \phi_0 + 2\pi\int_0^t f(\tau)\, \mathrm d\tau\\
&= \phi_0 + 2\pi\int_0^t \left(c \tau+f_0\right)\, \mathrm d\tau\\
&= \phi_0 + 2\pi \left(\frac{c}{2} t^2+f_0 t\right),
\end{align}
從而信號在時域表示為
:x(t)=A\cos\left(\phi_0 + 2\pi \left(\frac{c}{2} t^2+f_0 t\right)\right).
此種訊號又稱二次相位訊號。

傅立葉變換
因為是實數輸入，所以其快速傅立葉轉換會是對稱於中心的
:

範例與應用
音頻訊號
在大自然中常常可以遇到啁啾信號，例如鳥叫聲、音樂的滑音、動物發聲的聲音（青蛙、鯨魚）以及人類語音，通常會使用正弦、餘弦的模型去表示之，而這樣的模型去做疊加即可模擬出許多大自然的訊號。

雷達與聲納系統
啁啾信號也常用於天然聲納系統的觀察，大多數種類的蝙蝠可以利用啁啾信號，直接控制回聲定位系統，這種情況也類似於人類的雷達與聲納系統，為了能夠測量長距離又保留時間的解析度，雷達需要短時間的派衝波但是又要持續的發射信號，啁啾信號可以同時保留連續信號和脈衝的特性，因此被應用在雷達和聲納探測上。

波物理學
低頻率的啁啾信號可用作觀察大氣層中之電離層的訊號。

機械與震動學
對於汽車發動、或是氣體點火室的頻率對時間變化量也會用到啁啾信號，除了音樂以外，在記錄震動的儀器中也常常會使用到、觀察到啁啾信號。

生物學和醫學
在生物醫學信號裡面，例如腦電圖（EEG）或是與懷孕有關的子宮（EMG）也會遇到許多與啁啾信號有關的相關訊號，進而去分析與探討受測體的生理情況。

臨界現象
在一些關鍵現象中，啁啾信號已經被證明與許多奇異行為有關，透過加速震盪的啁啾信號可以分析出地震、金融海嘯、投資泡沫等情況的徵兆。

參考資料
Steven W. Smith, Ph.D."The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing"*,Chapter 11.[http://www.dspguide.com/]
*Time-frequency and chirps, Patrick Flandrin[http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/SPIE01_PF.pdf]
*Chirp Signal – Frequency Sweeping – FFT and power spectral density[http://www.gaussianwaves.com/2014/07/chirp-signal-frequency-sweeping-fft-and-power-spectral-density/ [3]]