模糊函數(Ambiguity function,AF):
AF_s(\theta,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\theta t}\, dt
韋格納分佈(Wigner distribution,WD):
WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\omega \tau}\, d\tau
模糊函數與韋格納分佈關係
一個訊號s(t)，自相關函數為
R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t-\tau)\, dt
如果R(\tau)為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為R(t,\tau)，
時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
P(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R(t,\tau)e^{-j\omega\tau}\, d\tau
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果
R(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)
，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對R(t,\tau)中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)
SAF_s(\theta,\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{j\theta t}\, dt
模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。
給一個對稱模糊函數SAF_s(\theta,\tau)，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:
\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j\theta t}\, d\theta=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)
由上式可以推得
WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j(\omega \tau+\theta t)}\, d\theta\, d\tau
也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution
範例
一個訊號為兩個Gaussian函數的和:
s(t)=\sum_{i=1}^2 s_i(t)=\sum_{i=1}^2 \sqrt[4]{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\tfrac{\alpha}{2}(t-t_i)^2+j\omega_i t}
\Rightarrow SAF_s(\theta,\tau)=\sum_{i=1}^2 SAF_{si}(\theta,\tau)+SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)+SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)
*其中SAF_{s1}(\theta,\tau),SAF_{s2}(\theta,\tau)集中在原點(0,0)，而SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)集中在(t_1-t_2,\omega_1-\omega_2)，而SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)相似於SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)，除了中心點在(t_2-t_1,\omega_2-\omega_1)
**SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2}e^{j(\omega_u \tau-\theta t_u+\omega_d t_u)} , t_u=\tfrac{t_1+t_2}{2} , \omega_u=\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2} , t_d=t_1-t_2 , \omega_d=\omega_1-\omega_2
模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term
從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau ,其中\Phi(\theta,\tau)為2D lowpass filter
兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係
如果\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(\theta,\tau)\, d\theta \, d\tau=\phi(t,\omega)，則
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau
=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x,y)WD_s(t-x,\omega-y)\, dx \, dy=SWD(t,\omega)
*其中SWD為smoothed Wigner distribution
通常\Phi(\theta,\tau)( 和\phi(t,\omega) )當作kernal function，用來控制SWD的特性。
若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
WD_{s1,s2}(t,\omega)=A_{WD}(t,\omega)e^{j\varphi_{WD} (t,\omega)}
SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=A_{SAF}(\theta,\tau)e^{j\varphi_{SAF} (\theta,\tau)}
而\frac{\partial}{\partial \theta} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=-t_u , \frac{\partial}{\partial \tau} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=\omega_u
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地，\frac{\partial}{\partial \omega} \varphi_{WD} (t,\omega)=t_d , \frac{\partial}{\partial t} \varphi_{WD} (t,\omega)=\omega_d
則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。
如果\omega_1=\omega_2=\omega_0，則
SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}\theta^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2]}e^{j(\omega_0 \tau-\theta t_u)}
會集中在\tau軸上。
如果t_1=t_2=t_0，則
SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}\tau^2]}e^{j[\omega_u \tau-(\theta-\omega_d)t_0]}
會集中在\theta軸上。
參考
*Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms*, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
*L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.
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