数据率失真理论（Rate distortion theory）或稱信息率-失真理論（information rate-distortion theory）是信息论的主要分支，其的基本问题可以归结如下：对于一个给定的信源（source, input signal）分布与失真度量，在特定的码率下能达到的最小期望失真；或者为了满足一定的失真限制，可允許的最大码率為何，D 定義為失真的符號。
要完全避免失真幾乎不可能。處理信號時必須允許有限度的失真﹐可減小所必需的信息率。1959年﹐Claude Shannon 首先發表《逼真度準則下的離散信源編碼定理》一文，提出了率失真函數的概念。
失真函數
失真函數能量化輸入與輸出的差異，以便進行數學分析。令輸入信號為\chi，輸出信號為\hat{\chi}
，定義失真函數為d(\chi,\hat{\chi})
，失真函數可以有多種定義，其與對應域為非負實數：
d:\chi \times \hat{\chi}\rightarrow R_+
。
漢明失真
漢明失真函數能描述錯誤率，定義為：
d(x,\hat{x}) = \begin{cases} 0, & \text{if }x=\hat{x} \\ 1, & \text{if }x\neq\hat{x} \end{cases}
，
對漢明失真函數取期望值即為傳輸錯誤率。
平方誤差失真
最常用於量測連續字符傳輸的失真，定義為：
d(x,\hat{x}) = (x-\hat{x})^2
，
平方誤差失真函數不適用於語音或影像方面，因為人類感官對於語音或影像的平方誤差失真並不敏感。
率失真函數
下列是率與失真（rate and distortion）的最小化關係函數:
:\inf_{Q_{Y|X}(y|x)} I_Q(Y;X)\ \mbox{subject to}\ D_Q \le D^*.
這裡 QY | X(y | x), 有時被稱為一個測試頻道 （test channel）, 係一種條件機率之機率密度函數 (PDF)，其中頻道輸出 (compressed signal) Y 相對於來源 (original signal) X, 以及 IQ(Y ; X) 是一種互信息（Mutual Information），在 Y 與 X 之間被定義為
:I(Y;X) = H(Y) - H(Y|X) \,
此處的 H(Y) 與 H(Y | X) 是指信宿（output signal） Y 的熵（entropy）以及基於信源（source signal）和信宿（output signal）相關的條件熵（conditional entropy）, 分別為:
: H(Y) = - \int_{-\infty}^\infty P_Y (y) \log_{2} (P_Y (y))\,dy
: H(Y|X) =
- \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^\infty Q_{Y|X}(y|x) P_X (x) \log_{2} (Q_{Y|X} (y|x))\, dx\, dy.
這一樣來便可推導出率失真的公式, 相關表示如下:
:\inf_{Q_{Y|X}(y|x)} E[D_Q[X,Y]] \mbox{subject to}\ I_Q(Y;X)\leq R.
這兩個公式之間互為可逆推。
無記憶（獨立）高斯訊號來源
如果我們假設 PX(x) 服从正态分布且方差为σ2, 並且假設 X 是連續时间独立訊號（或等同於來源無記憶或訊號不相關），我們可以發現下列的率失真公式的「公式解」（analytical expression）:
: R(D) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{2}\log_2(\sigma_x^2/D ), & \mbox{if } 0 \le D \le \sigma_x^2 \\ \\
0, & \mbox{if } D > \sigma_x^2.
\end{matrix} \right.
下圖是本公式的幾何面貌:
率失真理論告訴我們“沒有壓縮系統存在於灰色區塊之外”。可以說越是接近紅色邊界，執行效率越好。一般而言，想要接近邊界就必須透過增加碼塊（coding block）的長度參數。然而，塊長度（blocklengths）的取得則來自率失真公式的量化（quantizers）有關。
這樣的率失真理論（rate–distortion function）僅適用於高斯無記憶信源（Gaussian memoryless sources）。
二元信號源
伯努利信號源X
，X\thicksim Bernoulli(p)
，以漢明失真描述的率失真函數為：
R(D) = \begin{cases} H(p)-H(D), & 0\leq D\leq min\{ p,1-p\} \\ 0, & D\geq min\{p,1-p\} \end{cases}
平行高斯信號源
平行高斯信號源的率失真函數為一經典的反注水算法(Reverse water-filling algorithm)，我們可以找出一閾值\lambda
，只有方差大於\lambda
的信號源才有必要配置位元來描述，其他信號源則可直接傳送與接收，不會超過最大可容許的失真範圍。
我們可以使用平方誤差失真函數，計算平行高斯信號源的率失真函數。注意，此處信號源不一定同分佈：
X_1,X_2...,X_m
且 X_i\thicksim N(0,\sigma^2_i)
，此時率失真函數為，
R(D)=\sum_{i=1}^m {1\over2}log{{\sigma^2_i}\over{D_i}}
其中，
D_i = \begin{cases} \lambda, & \text{if }{\lambda}
且\lambda
必須滿足限制：
\sum_{i=1}^m D_i=D
。
注釋
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