Clenshaw递推公式

在数值分析中，Clenshaw递推公式 (由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。

切比雪夫多项式
N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)

:p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

其中Tn是n阶切比雪夫多项式.

Clenshaw递推公式
Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定

:p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)
我们定义

:

于是

:p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x) = b_{0}.

(注)上面的公式在 N = 0, 1 的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：

:

这里
: p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)
或者
: q(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n U_n(x)
其中U_n(x)是第二类切比雪夫多项式。