虚数

虛數是指可以写作实数与虚数单位i乘积的複數
，並定義其性質為i^2=-1，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值。

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（）一書中，命名其為（虛構的數），成為了虛數（）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

幾何詮釋
在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為i\mathbb{R}，Im，\mathbb{I}，或\Im。

在該呈現圖示中，乘以對應於以原點為中心180度的旋轉。i的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式i^2=-1可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了-i也解出了方程x^2=-1。一般來說，乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根
我們應該將根號視為求x^2的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，\sqrt{-1}實際上代表的是兩個數，分別為+i及-i。但若直接將\sqrt{-1}對應到+i，而-\sqrt{-1}對應到-i也未嘗不可。

性質

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：1成立，但1+i和i卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設i>0\,

平方得i^2>0\,

得-1>0\,即可看出矛盾。

再舉例：假設i

平方得i^2>0\,（不等式兩側同乘假設為負的i，不等式由小於變為大於）

得-1>0\,即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

1. 因爲i^0 = 1\,，i^1 = i\,，i^2 = -1\,，i^3 = -i\,，i^4 = 1\,，\cdots，很容易知道i^n\,（n \in \mathbb{N}\,）是關於指數n\,的週期函數，最小正週期是4\,。於是，我們有

:i^1 + i^2 + i^3 + i^4 =0\,

這表示i\,為方程x+x^2+x^3+x^4 = 0\,的一個根，另三個根分別為 -i , -1\,及 0\,。

另外可以證明

:\omega = - \frac {1}{2} + \frac {\sqrt 3}{2} i\,

和

:\overline \omega = - \frac {1}{2} - \frac {\sqrt 3}{2} i\,

爲下列方程的根

:x^2 + x + 1 = 0\,
:x^3 = 1\,

其中，\overline \omega\,稱爲\omega\,的共軛虛數（或共軛複數）。

1. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參見

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

参考资料
外部链接
*[http://khan-academy.appspot.com/video/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?playlist=Algebra 虛數i的介紹]
*[http://khan-academy.appspot.com/video/calculating-i-raised-to-arbitrary-exponents?playlist=Algebra i^{7321}\,的計算方法舉例]
*[http://khan-academy.appspot.com/video/i-as-the-principal-root-of--1--a-little-technical?playlist=Algebra i作為-1的平方根]