分配律

分配律（distributive property）是二元运算的一个性质，它起源于基本代数运算，同时部分抽象代数运算亦符合该定律

定義
設*及+是定义在集合S上的兩個二元運算，我們說

• *对于+满足左分配律，如果：

:: \forall x,y,z \in S, x (y+z) = (xy)+(x*z);

• *对于+满足右分配律，如果：

:: \forall x,y,z \in S, (y+z)x = (yx)+(z*x);

• 如果对于+同時满足左分配律和右分配律，那么我們說对于+满足分配律。

如果*满足交换律，那么以上三条语句在邏輯上是等价的。

例子

• 包括实数，自然数、複數和基数中的乘法都对加法满足分配律。

*实数及複數中的除法都对加法满足右分配律，但不滿足左分配律。

• 序数的乘法对加法只满足左分配律，不满足右分配律。
• 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律（但不满足交换律）。
• 集合的并集对交集满足分配律，交集对并集也满足分配律。另外，交集对对称差也满足分配律。
• 逻辑析取对逻辑合取满足分配律，逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外，逻辑合取对逻辑异或也满足分配律。
• 对于实数（或任何全序集合），最大值对最小值满足分配律，反之亦然：

:: \operatorname{max}(a,\operatorname{min}(b,c)) = \operatorname{min}(\operatorname{max}(a,b),\operatorname{max}(a,c))
:: \operatorname{min}(a,\operatorname{max}(b,c)) = \operatorname{max}(\operatorname{min}(a,b),\operatorname{min}(a,c))。

• 对于整数，最大公因子对最小公倍数满足分配律，反之亦然：

:: \operatorname{gcd}(a,\operatorname{lcm}(b,c)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{gcd}(a,b),\operatorname{gcd}(a,c))

:: \operatorname{lcm}(a,\operatorname{gcd}(b,c)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(a,c))。

• 对于实数，加法对最大值满足分配律，对最小值也满足分配律：

:: a + \operatorname{max}(b,c) = \operatorname{max}(a+b,a+c)

:: a + \operatorname{min}(b,c) = \operatorname{min}(a+b,a+c)。

环的分配律
分配律在环和分配格中很常见。

一个环有两个二元运算（通常称为+和），其中一个要求是必须对+满足分配律。

格是另外一种具有两个二元运算\wedge和\vee的代数结构。如果这两个运算中的任何一个（例如\wedge）对另外一个（\vee）满足分配律，则\vee对\wedge也一定满足分配律，这时这个格便称为分配格。

參見

• 交換律
• 結合律

*遞移關係