在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 f^{\mu} 以公式定義為
:f^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(f,\, f \mathbf{n} \right) ；
其中，f 是電磁波的頻率，\mathbf{n} 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。
四維頻率與自己的內積永遠等於零：
:{f}^\mu {f}_\mu = (f)^2 (1 - n^2) = 0 。
類似地，四維角頻率 \omega^{\mu} 以公式定義為
:\omega^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\omega,\,\omega \mathbf{n} \right) ；
其中，\omega 是電磁波的角頻率。
顯然地，
:\omega^{\mu}=2\pi f^{\mu} 。
四維波向量 {k}^{\mu} 與四維角頻率有密切的關係，定義為
:{k}^{\mu}=\left(k,\,\mathbf{k}\right) ；
其中，\mathbf{k} 是電磁波的波向量。
在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1, -1, -1, -1) ，這是参考了約翰·傑克森（）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。
勞侖茲變換
給予兩個慣性參考系 \mathcal{S} 、\overline{\mathcal{S}} ；相對於參考系 \mathcal{S} ，參考系 \overline{\mathcal{S}} 以速度 \mathbf{v} 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 \Lambda^{\mu}_{\nu} 是
:\Lambda^{\mu}_{\nu}=\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix} ；
其中，\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} 是勞侖茲因子，\beta=\frac{v}{c} 是貝他因子，\beta_x 、\beta_y 、\beta_z 分別是參考系 \overline{\mathcal{S}} 對於參考系 \mathcal{S} 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 v_x 、v_y 、v_z 的貝他因子。
設定一個朝著 \hat{\mathbf{k}} 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 \mathcal{S} ，這平面電磁波以公式表達為
:\mathbf{E}=E_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_1 、
:\mathbf{B}=B_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_2 ；
其中，\mathbf{E} 、\mathbf{B} 分別是電磁波的電場、磁場，E_0 、B_0 分別是其波幅，k^{\mu} 是四維波向量，x_{\mu}=(ct, -\mathbf{x}) 是四維位置，\mathbf{x} 是位置，\hat{\boldsymbol{\eta}}_1 、\hat{\boldsymbol{\eta}}_2 分別垂直於 \hat{\mathbf{k}} ，而且 \hat{\boldsymbol{\eta}}_2=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\eta}}_1 。
那麼，對於參考系 \overline{\mathcal{S}} ，這平面電磁波以公式表達為
:\overline{\mathbf{E}}=\overline{E}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_1 、
:\overline{\mathbf{B}}=\overline{B}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_2 。
四維波向量 \overline{k}^{\mu} 與 {k}^{\mu} 之間的關係為
:\overline{k}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}{k}^{\nu} 。
經過一番運算，可以求得
:\overline{k}=\overline{k}^0=\gamma(k - \beta_x k_x - \beta_y k_y - \beta_z k_z)=k^{\mu}v_{\mu}/c ；
其中，v_{\mu}=(\gamma c,\, -\gamma\mathbf{v}) 是參考系 \overline{\mathcal{S}} 相對於參考系 \mathcal{S} 的四維速度，\mathbf{v} 是參考系 \overline{\mathcal{S}} 相對於參考系 \mathcal{S} 的速度。
在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為
:f^{\mu}=c k^{\mu}/2\pi 。
所以，
:\overline{f}=\overline{f}^0=f^{\mu}v_{\mu}/c 。
這也是參考系 \overline{\mathcal{S}} 的觀察者所觀察到的頻率。
參閱
*四維向量
*電磁張量
參考文獻
*
*
评论 (0)