相交

在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点，则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。

直线的相交
在欧几里得平面上，两条直线要么平行，要么相交，要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中，按几何特性（曲率），可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行，要么相交，但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。

三维空间或更高维空间中，两条直线相交则必定共面。

圆的相交
歐幾里得幾何中，同一平面上的两个圆之间的关系有四种：相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。

两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和，并严格大于两圆的半径之差。

解析几何中的判别方法
在平面解析几何中，设两条直线的方程为：
:(\mathcal{D}_1) :\, \ a_1 x + b_1 y = c_1
:(\mathcal{D}_2) :\, \ a_2 x + b_2 y = c_2

那么(\mathcal{D}_1)与 (\mathcal{D}_2) 相交当且仅当行列式：
:\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}=a_1 b_2 - a_2 b_1 不等于零。

对于两圆相交，设两个圆的方程是：
:(\mathcal{C}_1) :\, \ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2
:(\mathcal{C}_2) :\, \ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2

那么(\mathcal{C}_1)与 (\mathcal{C}_2) 相交当且仅当：
: |r_1 - r_2|

例子
直线
*设两条直线的方程是：
:(\mathcal{D}_1) :\, \ 3 x + 5 y = 18
:(\mathcal{D}_2) :\, \ 6 x - y = 3

由于行列式：\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & -1 \end{vmatrix}=-33 \neq 0 ，两直线相交。交点为(1, 3)。

*设两条直线的方程是：
:(\mathcal{D}_1) :\, \ 3 x + 5 y = 18
:(\mathcal{D}_2) :\, \ 6 x + 10 y = 3

由于行列式：\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \end{vmatrix}= 0 ，两直线不相交（实际上平行）。

圆
*设两个圆的方程是：
:(\mathcal{C}_1) :\, \ (x - 1)^2 + (y +4)^2 = 6^2 = 36
:(\mathcal{C}_2) :\, \ (x + 3)^2 + (y +1)^2 = 2^2 = 4

这时两个圆心的距离是：\sqrt{[1 - (-3)]^2 + [-4 - (-1)]^2} = 5，|6 - 2|，因此两圆相交。

参见
*拓撲學
*几何学
*交集
参考来源
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