韦伯分布

{{Probability distribution|
name = 韦伯分布|
type = 密度|
pdf_image = |
cdf_image = |
parameters = \lambda>0\,尺度参数（实数）
k>0\,形状参数（实数）|
support = x \in [0; +\infty)\,|
pdf = f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x|
cdf = 1- e^{-(x/\lambda)^k}|
mean = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,|
median = \lambda(\ln(2))^{1/k}\,|
mode = \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, if k>1|
arg mode = \lambda\frac{k-1}{k}^{\frac{1}{k}}\, if k>1|
variance = \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,|
skewness = \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}|
kurtosis = 见内文|
entropy = \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1|
mgf = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1|
char = \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)
}}
韦伯分布（Weibull distribution）是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

例如，可以使用此分布回答以下问题：

预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？

预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？

历史
1927年，莫里斯·弗雷歇首先给出这一分布的定义。

1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布。

1951年，瑞典工程师、数学家瓦洛迪·韦伯详细解释了这一分布，于是该分布便以他的名字命名为韦伯分布。

定义
从概率论和统计学角度看，韦伯分布是连续性的概率分布，其概率密度为：
:f(x;\lambda,k) = \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^{k}} & x\geq0\\
0 & x

其中，x是随机变量，\lambda>0是比例参数（scale parameter），k>0是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且韦伯分布与很多分布都有关系。如，当k=1，它是指数分布；k=2时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性质
均值
E=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
其中，\Gamma是伽马（gamma）函数。

方差
Var=\lambda ^2 \left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right],
矩函数
偏度
skewness=\frac{2 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^3-3 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}

峰度
kurtosis=\frac{-3 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^4+6 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2-4 \Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{4}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^2}

应用
生存分析
工业制造
研究生产过程和运输时间关系
极值理论
预测天气
可靠性和失效分析
雷达系统
对接受到的杂波信号的依分布建模
拟合度
无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度
量化寿险模型的重复索赔
预测技术变革
风速
由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布